Calcule a integral iterada convertendo para coordenadas polares.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando coordenadas polares. A questão pede para calcular a integral iterada:
Aqui, estamos lidando com integrais duplas que envolvem funções de duas variáveis. Para facilitar, vamos converter essa integral para coordenadas polares, que muitas vezes simplificam os cálculos envolvendo distâncias como . Vamos precisar entender como mudar as variáveis de coordenadas cartesianas para polares e ajustar os limites de integração de acordo.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que em coordenadas polares, as relações são:
O diferencial de área em coordenadas polares vira . Então, nossa integral fica:

Passo 3

Agora, precisamos determinar os novos limites de integração em coordenadas polares. Vamos analisar as restrições originais:
Substituindo e por e respectivamente:
Vamos simplificar a segunda inequação:
Dividindo por (que é positivo):
Isso indica que estamos no primeiro quadrante, onde varia de a (já que ).

Passo 4

Determinar os limites para . Da primeira inequação , temos:
Portanto, os limites em coordenadas polares são:

Passo 5

Agora, reescrevemos a integral com os novos limites e a expressão em coordenadas polares:
Vamos integrar primeiro em relação a .

Passo 6

Integrando em relação a :
Então, nossa integral agora é:

Passo 7

Agora, precisamos resolver a integral
Lembrando que . A integral de é conhecida e pode ser resolvida usando técnicas de integração por partes ou substituição trigonométrica. A integral é:

Passo 8

Aplicando os limites de a :
Calculando em :
Então:
Em , tende ao infinito, mas o termo também tende ao infinito de forma que a expressão completa converge para .

Resposta

Após simplificar, a integral é igual a:
Ou, de forma simplificada:

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Calcule as seguintes integrais duplas sobre as regiões dadas:
Calcule a integral iterada convertendo para coordenadas polares.
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