Calcule a integral iterada convertendo para coordenadas polares.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando coordenadas polares. A questão pede para calcular a integral iterada:
Aqui, estamos lidando com integrais duplas que envolvem funções de duas variáveis. Para facilitar, vamos converter essa integral para coordenadas polares, que muitas vezes simplificam os cálculos envolvendo distâncias como
. Vamos precisar entender como mudar as variáveis de coordenadas cartesianas para polares e ajustar os limites de integração de acordo.
Passo 2
Primeiro, lembre-se que em coordenadas polares, as relações são:
O diferencial de área
em coordenadas polares vira
. Então, nossa integral fica:
Passo 3
Agora, precisamos determinar os novos limites de integração em coordenadas polares. Vamos analisar as restrições originais:
Substituindo
e
por
e
respectivamente:
Vamos simplificar a segunda inequação:
Dividindo por
(que é positivo):
Isso indica que estamos no primeiro quadrante, onde
varia de
a
(já que
).
Passo 4
Determinar os limites para
. Da primeira inequação
, temos:
Portanto, os limites em coordenadas polares são:
Passo 5
Agora, reescrevemos a integral com os novos limites e a expressão em coordenadas polares:
Vamos integrar primeiro em relação a
.
Passo 6
Integrando
em relação a
:
Então, nossa integral agora é:
Passo 7
Agora, precisamos resolver a integral
Lembrando que
. A integral de
é conhecida e pode ser resolvida usando técnicas de integração por partes ou substituição trigonométrica. A integral é:
Passo 8
Aplicando os limites de
a
:
Calculando em
:
Então:
Em
,
tende ao infinito, mas o termo
também tende ao infinito de forma que a expressão completa converge para
.
Resposta
Após simplificar, a integral é igual a:
Ou, de forma simplificada:
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dadas:
Calcule a integral iterada convertendo para coordenadas polares.
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