Calcule a integral iterada convertendo para coordenadas polares.
integral0^1 integraly^raizy raizx^2+y^2 d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando coordenadas polares. A questão pede para calcular a integral iterada:
integral0^1 integraly^raizy raizx^2+y^2 , dx , dy
Aqui, estamos lidando com integrais duplas que envolvem funções de duas variáveis. Para facilitar, vamos converter essa integral para coordenadas polares, que muitas vezes simplificam os cálculos envolvendo distâncias como raizx^2+y^2. Vamos precisar entender como mudar as variáveis de coordenadas cartesianas para polares e ajustar os limites de integração de acordo.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que em coordenadas polares, as relações são:
x = r costheta y = r sintheta raizx^2 + y^2 = r
O diferencial de área dx , dy em coordenadas polares vira r , dr , dtheta. Então, nossa integral fica:
integral integral r cdot r , dr , dtheta = integral integral r^2 , dr , dtheta

Passo 3

Agora, precisamos determinar os novos limites de integração em coordenadas polares. Vamos analisar as restrições originais:
0 <= y <= 1 y <= x <= raizy
Substituindo x e y por r costheta e r sintheta respectivamente:
  1. 0 <= r sintheta <= 1
  2. r sintheta <= r costheta <= raizr sintheta
Vamos simplificar a segunda inequação:
Dividindo por r (que é positivo):
sintheta <= costheta <= raizsinthetar
Isso indica que estamos no primeiro quadrante, onde theta varia de 0 a pi4 (já que sintheta <= costheta).

Passo 4

Determinar os limites para r. Da primeira inequação 0 <= r sintheta <= 1, temos:
0 <= r <= 1sintheta
Portanto, os limites em coordenadas polares são:
0 <= theta <= pi4 0 <= r <= 1sintheta

Passo 5

Agora, reescrevemos a integral com os novos limites e a expressão em coordenadas polares:
integral0^pi4 integral0^1sintheta r^2 , dr , dtheta
Vamos integrar primeiro em relação a r.

Passo 6

Integrando r^2 em relação a r:
integral0^1sintheta r^2 , dr = [ r^33 ]0^1sintheta = 13 ( 1sintheta )^3 = 13 sin^3theta
Então, nossa integral agora é:
13 integral0^pi4 1sin^3theta , dtheta

Passo 7

Agora, precisamos resolver a integral
integral 1sin^3theta , dtheta
Lembrando que 1sin^3theta = csc^3theta. A integral de csc^3theta é conhecida e pode ser resolvida usando técnicas de integração por partes ou substituição trigonométrica. A integral é:
integral csc^3theta , dtheta = -csctheta cottheta2 + 12 ln|tantheta2|| + C

Passo 8

Aplicando os limites de 0 a pi4:
13 [ -csctheta cottheta2 + 12 ln|tantheta2| ]0^pi4
Calculando em theta = pi4:
cscpi4 = raiz2, cotpi4 = 1, tanpi8 = raiz2 -1
Então:
-raiz2 cdot 12 + 12 ln(raiz2 -1)
Em theta = 0, csctheta tende ao infinito, mas o termo csctheta cottheta também tende ao infinito de forma que a expressão completa converge para 0.

Resposta

Após simplificar, a integral é igual a:
13 ( -raiz22 + 12 ln(raiz2 -1) )
Ou, de forma simplificada:
-raiz26 + 16 ln(raiz2 -1)

Exercícios relacionados