Calcule a integral iterada convertendo para coordenadas polares.
Passo 1
Então, a gente precisa calcular uma integral dupla, que é basicamente somar valores de uma função sobre uma região do plano. O enunciado é
. A matéria aqui é Cálculo Integral, especificamente a mudança para coordenadas polares. Vamos precisar converter essa integral para coordenadas polares para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. As variáveis
vão de
a
, e para cada
,
vai de
a
. Isso descreve um quarto de círculo de raio
no primeiro quadrante.
Passo 3
Em coordenadas polares, usamos as relações
e
. Além disso, o elemento de área em coordenadas polares é
.
Passo 4
Agora, vamos reescrever a função integranda
em termos de
e
:
Isso simplifica a função para
.
Passo 5
Substituindo tudo na integral original, temos:
Aqui, o limite para
vai de
a
porque estamos no primeiro quadrante.
Passo 6
Vamos integrar primeiro em relação a
:
Passo 7
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
O valor da integral é
.