Calcule a integral iterada convertendo para coordenadas polares. integral0^1 integral0^raiz1-x^2(x^2+y^2) d y d x

Passo 1

Então, a gente precisa calcular uma integral dupla, que é basicamente somar valores de uma função sobre uma região do plano. O enunciado é integral0^1 integral0^raiz1-x^2(x^2 + y^2) , dy , dx. A matéria aqui é Cálculo Integral, especificamente a mudança para coordenadas polares. Vamos precisar converter essa integral para coordenadas polares para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. As variáveis x vão de 0 a 1, e para cada x, y vai de 0 a raiz1 - x^2. Isso descreve um quarto de círculo de raio 1 no primeiro quadrante.

Passo 3

Em coordenadas polares, usamos as relações x = r costheta e y = r sintheta. Além disso, o elemento de área em coordenadas polares é dA = r , dr , dtheta.

Passo 4

Agora, vamos reescrever a função integranda x^2 + y^2 em termos de r e theta:
x^2 + y^2 = (r costheta)^2 + (r sintheta)^2 = r^2 (cos^2theta + sin^2theta) = r^2
Isso simplifica a função para r^2.

Passo 5

Substituindo tudo na integral original, temos:
integral0^1 integral0^raiz1-x^2 (x^2 + y^2) , dy , dx = integral0^pi2 integral0^1 r^2 cdot r , dr , dtheta = integral0^pi2 integral0^1 r^3 , dr , dtheta
Aqui, o limite para theta vai de 0 a pi2 porque estamos no primeiro quadrante.

Passo 6

Vamos integrar primeiro em relação a r:
integral0^1 r^3 , dr = [ r^44 ]0^1 = 14

Passo 7

Agora, integramos em relação a theta:
integral0^pi2 14 , dtheta = 14 cdot [ theta ]0^pi2 = 14 cdot pi2 = pi8

Resposta

O valor da integral é pi8.

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