Expresse a área da superfície dada como uma integral dupla iterada e, depois, encontre a área de superfície. A parte do cone
que está acima da região do primeiro quadrante limitada pela reta
e a parábola
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente expressar a área da superfície de uma parte de um cone usando uma integral dupla iterada e depois calcular essa área. O cone é definido por
e estamos interessados na parte que está acima da região do primeiro quadrante, limitada pela reta
e pela parábola
. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente o conceito de integrais duplas para calcular áreas de superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação do cone de forma que expressamos
em termos de
e
. A equação
pode ser isolada para
:
Aqui, escolhemos a raiz positiva porque estamos considerando a parte do cone acima do plano
.
Passo 3
Agora, para encontrar a área da superfície do cone sobre a região dada, usamos a fórmula da área de uma superfície
:
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na fórmula da área, temos:
Portanto, a expressão dentro da raiz quadrada simplifica para
.
Passo 5
Agora, a área da superfície fica:
Isso significa que precisamos calcular a área da região
limitada pela reta
e pela parábola
no primeiro quadrante.
Passo 6
Vamos traçar a região
para entender os limites de integração. As curvas
e
se interceptam quando
, ou seja,
e
. Portanto,
varia de 0 a 1. Para cada
nesse intervalo,
varia de
a
.
Passo 7
Assim, podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada:
Vamos calcular essa integral passo a passo.
Passo 8
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a
:
Agora, substituímos na integral externa:
Passo 9
Vamos calcular a integral em relação a
:
Passo 10
Finalmente, substituímos o resultado na expressão para
:
Resposta
A área da superfície é
.