Expresse a área da superfície dada como uma integral dupla iterada e, depois, encontre a área de superfície. A parte do cone z^2 = 4x^2 + 4y^2 que está acima da região do primeiro quadrante limitada pela reta y = x e a parábola y = x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente expressar a área da superfície de uma parte de um cone usando uma integral dupla iterada e depois calcular essa área. O cone é definido por e estamos interessados na parte que está acima da região do primeiro quadrante, limitada pela reta e pela parábola . Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente o conceito de integrais duplas para calcular áreas de superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação do cone de forma que expressamos em termos de e . A equação pode ser isolada para :
Aqui, escolhemos a raiz positiva porque estamos considerando a parte do cone acima do plano .

Passo 3

Agora, para encontrar a área da superfície do cone sobre a região dada, usamos a fórmula da área de uma superfície :
Vamos calcular as derivadas parciais de :

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula da área, temos:
Portanto, a expressão dentro da raiz quadrada simplifica para .

Passo 5

Agora, a área da superfície fica:
Isso significa que precisamos calcular a área da região limitada pela reta e pela parábola no primeiro quadrante.

Passo 6

Vamos traçar a região para entender os limites de integração. As curvas e se interceptam quando , ou seja, e . Portanto, varia de 0 a 1. Para cada nesse intervalo, varia de a .

Passo 7

Assim, podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada:
Vamos calcular essa integral passo a passo.

Passo 8

Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a :
Agora, substituímos na integral externa:

Passo 9

Vamos calcular a integral em relação a :

Passo 10

Finalmente, substituímos o resultado na expressão para :

Resposta

A área da superfície é .

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