Expresse a área da superfície dada como uma integral dupla iterada em coordenadas polares e, depois, encontre a área de superfície. A parte da superfície z = x y que fica acima do setor do primeiro quadrante delimitado pelas retas y = x / raiz(3), y = 0 e o círculo x^2 + y^2 = 9.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Queremos calcular a área da superfície definida por que está acima de um setor do primeiro quadrante. Esse setor é delimitado pelas retas , e pelo círculo . Vamos usar coordenadas polares para facilitar a integração dupla e encontrar a área dessa superfície.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como expressar a área da superfície em coordenadas polares. A fórmula geral para a área de uma superfície é:
Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Substituindo na fórmula da área:

Passo 3

Agora, vamos converter essa integral para coordenadas polares. Sabemos que:
Além disso, . Substituindo na expressão para a área:
Onde é o limite superior de para cada ângulo .

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração. O setor está no primeiro quadrante, então varia de 0 a (já que corresponde a ).
Além disso, o círculo tem raio 3, então .
Portanto, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Fazendo a substituição , temos , ou seja, . A integral se torna:
Agora, substituímos de volta na integral externa:

Resposta

A área da superfície é .

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