Expresse a área da superfície dada como uma integral dupla iterada em coordenadas polares e, depois, encontre a área de superfície. A parte da superfície que fica acima do setor do primeiro quadrante delimitado pelas retas e o círculo .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Queremos calcular a área da superfície definida por que está acima de um setor do primeiro quadrante. Esse setor é delimitado pelas retas , e pelo círculo . Vamos usar coordenadas polares para facilitar a integração dupla e encontrar a área dessa superfície.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como expressar a área da superfície em coordenadas polares. A fórmula geral para a área de uma superfície é:
Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Substituindo na fórmula da área:
Passo 3
Agora, vamos converter essa integral para coordenadas polares. Sabemos que:
Além disso, . Substituindo na expressão para a área:
Onde é o limite superior de para cada ângulo .
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração. O setor está no primeiro quadrante, então varia de 0 a (já que corresponde a ).
Além disso, o círculo tem raio 3, então .
Portanto, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a :
Fazendo a substituição , temos , ou seja, . A integral se torna: