Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral iterada tripla:
Esse tipo de integral pertence ao conteúdo de Cálculo Multivariable, mais especificamente, integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar entender como calcular integrais iteradas, ou seja, integrar uma função de várias variáveis passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a ordem das integrais. A integral mais interna é em relação a , depois em relação a e, por fim, em relação a . Começamos integrando a função em relação a .
A integral em relação a é:
Como não depende de , podemos tratá-lo como constante em relação à integração com respeito a .
Passo 3
Integrando em relação a de a :
Então, a expressão integral fica:
Passo 4
Agora, vamos integrar em relação a integral-1^y^2 y z (z + 1) , dz :
y z (z + 1) = y z^2 + y z
Primeiro, expandimos a expressão dentro da integral:
integral-1^y^2 (y z^2 + y z) , dz = y integral-1^y^2 z^2 , dz + y integral-1^y^2 z , dz
Então, a integral se torna:
Passo 5
Calculando cada parte separadamente:
Para integral z^2 , dz = z^33 :
(y^2)^33 - (-1)^33 = y^63 - ( -13 ) = y^63 + 13
Avaliado de integral z , dz = z^22 a (y^2)^22 - (-1)^22 = y^42 - 12 :