Expresse a área da superfície dada como uma integral dupla iterada em coordenadas polares e, depois, encontre a área de superfície. A parte da esfera que fica entre os planos e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da superfície de uma parte da esfera dada pela equação , especificamente a porção que está entre os planos e . Para isso, vamos usar coordenadas polares e calcular uma integral dupla iterada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a esfera. A equação representa uma esfera com raio centrada na origem. Queremos encontrar a área da parte dessa esfera que vai de até .
Passo 3
Para calcular a área de superfície, vamos utilizar a fórmula em coordenadas esféricas. Porém, aqui vamos adaptar para coordenadas polares. A área de superfície pode ser expressa como uma integral dupla:
Passo 4
Na esfera, podemos expressar em termos de e :
Em coordenadas polares, onde e , temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Passo 6
Substituindo essas derivadas na fórmula da área:
Passo 7
Agora, precisamos determinar os limites de integração. Como estamos entre e :