Expresse a área da superfície dada como uma integral dupla iterada em coordenadas polares e, depois, encontre a área de superfície. A parte da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 16 que fica entre os planos z = 1 e z = 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da superfície de uma parte da esfera dada pela equação , especificamente a porção que está entre os planos e . Para isso, vamos usar coordenadas polares e calcular uma integral dupla iterada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a esfera. A equação representa uma esfera com raio centrada na origem. Queremos encontrar a área da parte dessa esfera que vai de até .

Passo 3

Para calcular a área de superfície, vamos utilizar a fórmula em coordenadas esféricas. Porém, aqui vamos adaptar para coordenadas polares. A área de superfície pode ser expressa como uma integral dupla:

Passo 4

Na esfera, podemos expressar em termos de e :
Em coordenadas polares, onde e , temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 6

Substituindo essas derivadas na fórmula da área:

Passo 7

Agora, precisamos determinar os limites de integração. Como estamos entre e :
Para :
Para :
Então, varia de a , e varia de a .

Passo 8

Agora, montamos a integral dupla:

Passo 9

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Faça a substituição , então , ou seja, .
Substituindo de volta:

Passo 10

Agora, integraremos em relação a :

Resposta

A área da superfície é unidades de área.

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