Calcule a integral iterada.
Passo 1
Beleza, então temos um exercício que pede para calcular uma integral iterada. Basicamente, isso significa que vamos integrar uma função de várias variáveis, uma de cada vez, seguindo certos limites. No nosso caso, a função é
e os limites de integração são:
- Para
de 0 a 1, - Para
de 0 a 2, - Para
de -1 a 1.
Vamos precisar usar as regras de integrais múltiplas e entender como integrar termo a termo.
Passo 2
Vamos começar integrando em relação a
. A função que vamos integrar é
, mas como estamos integrando em relação a
,
e
são tratados como constantes.
Então, a integral em relação a
fica:
Vamos resolver essa integral term por term:
Somando tudo, a integral em relação a
resulta em:
Passo 3
Agora, precisamos integrar o resultado anterior em relação a
, de 0 a 2. Então temos:
Vamos integrar termo a termo novamente:
Somando tudo, a integral em relação a
fica:
Passo 4
Por último, vamos integrar o resultado em relação a
, de -1 a 1:
Vamos integrar cada termo:
Somando tudo, a integral final é:
Resposta
A integral iterada vale 8.