Expresse a área da superfície dada como uma integral dupla iterada e, depois, encontre a área de superfície. A parte da superfície
acima da região triangular de vértices
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para a gente calcular a área de uma superfície definida por
que está acima de um triângulo com vértices em
,
e
. Vamos usar cálculo de integrais duplas para isso. Para resolver, vamos precisar saber como configurar uma integral dupla para a área de uma superfície e entender como descrever a região triangular de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a área de uma superfície
acima de uma região
no plano
. A fórmula geral para a área de superfície
é:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais da nossa função
:
Substituindo na fórmula da área:
Passo 4
Agora, precisamos descrever a região triangular
onde vamos integrar. Os vértices do triângulo são
,
e
. Isso significa que
varia de 0 a 1, e para cada valor de
,
vai de 0 até
. Então, nossa integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a
:
Então, a área fica:
Passo 6
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Seja
, então:
A integral se transforma em:
Passo 7
Agora, vamos integrar
:
Calculando
e
:
Então:
Resposta
A área da superfície é aproximadamente
unidades quadradas.