Calcule a integral iterada. integral0^3 integral0^raiz9-z^2 integral0^x x y d y d x d z

Passo 1

Vamos resolver a integral iterada dada:
integral0^3 integral0^raiz9-z^2 integral0^x x y , dy , dx , dz
Conteúdo: Estamos trabalhando com integrais triplas, que são usadas para calcular volumes em espaços tridimensionais. Para resolver essa integral, vamos integrar passo a passo em relação a , depois a e, por fim, a .

Passo 2

Primeira Integração (em relação a integral0^x x y , dy ):
Vamos integrar a função x integral0^x y , dy em relação a x [ y^22 ]0^x = x ( x^22 - 0 ) = x^32 , mantendo e constantes.
Explicação: Aqui, é tratado como uma constante, então podemos tirar para fora da integral:
Integrando em relação a :

Passo 3

Segunda Integração (em relação a integral0^raiz9-z^2 x^32 , dx ):
Agora, vamos integrar o resultado anterior 12 integral0^raiz9-z^2 x^3 , dx em relação a 12 [ x^44 ]0^raiz9 - z^2 = 12 ( (raiz9 - z^2)^44 - 0 ) = 18 (9 - z^2)^2 , com os limites de a :
Explicação: Podemos tirar a constante para fora da integral:
Integrando em relação a :

Passo 4

Terceira Integração (em relação a integral0^3 18 (9 - z^2)^2 , dz ):
Agora, vamos integrar 18 integral0^3 (9 - z^2)^2 , dz em relação a (9 - z^2)^2 = 81 - 18 z^2 + z^4 , com os limites de 18 integral0^3 (81 - 18 z^2 + z^4) , dz = 18 [ 81 z - 6 z^3 + z^55 ]0^3 a 81(3) - 6(3)^3 + (3)^55 = 243 - 162 + 2435 = 81 + 48.6 = 129.6 :
0 - 0 + 0 = 0
Explicação: Podemos tirar a constante 18 (129.6 - 0) = 129.68 = 16.2 para fora da integral:
Expandindo :
Agora, a integral se torna:
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Portanto:

Resposta

O valor da integral iterada é 16.2.

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