Use coordenadas esféricas para encontrar o volume do sólido. O sólido dentro da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 9, fora do cone z = raiz(x^2 + y^2) e acima do plano x y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o volume de um sólido usando coordenadas esféricas. O sólido está dentro da esfera definida por , fora do cone dado por e acima do plano . Para isso, vamos usar as coordenadas esféricas, que são ótimas para descrever objetos simétricos como esferas e cones.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as coordenadas esféricas. Nesse sistema, um ponto no espaço é representado por , onde:
  • é a distância do ponto à origem.
  • é o ângulo no plano (longitude).
  • é o ângulo em relação ao eixo (co-latitude).
A relação entre coordenadas cartesianas e esféricas é:

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração para , e .
  • Para : A esfera tem raio , então varia de a .
  • Para : Como o sólido é simétrico em torno do eixo , varia de a .
  • Para : O cone pode ser reescrito em esféricas como . Como queremos o sólido fora desse cone e acima do plano ( ), varia de a .

Passo 4

Com esses limites, podemos escrever a integral para o volume em coordenadas esféricas:
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 5

Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, integramos em relação a :
Substituindo na integral:

Passo 7

Por fim, integramos em relação a :
Multiplicando tudo:

Resposta

O volume do sólido é .

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