Use coordenadas esféricas para encontrar o volume do sólido. O sólido dentro da esfera
, fora do cone
e acima do plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o volume de um sólido usando coordenadas esféricas. O sólido está dentro da esfera definida por
, fora do cone dado por
e acima do plano
. Para isso, vamos usar as coordenadas esféricas, que são ótimas para descrever objetos simétricos como esferas e cones.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as coordenadas esféricas. Nesse sistema, um ponto no espaço é representado por
, onde:
-
é a distância do ponto à origem. -
é o ângulo no plano (longitude). -
é o ângulo em relação ao eixo (co-latitude).
A relação entre coordenadas cartesianas e esféricas é:
Passo 3
Agora, vamos identificar os limites de integração para
,
e
.
-
Para
: A esfera tem raio , então varia de a . -
Para
: Como o sólido é simétrico em torno do eixo , varia de a . -
Para
: O cone pode ser reescrito em esféricas como . Como queremos o sólido fora desse cone e acima do plano ( ), varia de a .
Passo 4
Com esses limites, podemos escrever a integral para o volume
em coordenadas esféricas:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 5
Primeiro, integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, integramos em relação a
:
Substituindo na integral:
Passo 7
Por fim, integramos em relação a
:
Multiplicando tudo:
Resposta
O volume do sólido é
.