Calcule a integral tripla. integralG y d V, onde G é o sólido compreendido pelo plano z=y, o plano x y e o cilindro parabólico y=1-x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular a integral tripla , onde é o sólido delimitado pelo plano , pelo plano (que é ) e pelo cilindro parabólico .
Matéria envolvida: Cálculo de integrais triplas e definição de limites de integração em coordenadas cartesianas.
O que precisamos: Entender como definir os limites de integração para , e com base nas superfícies que delimitam o sólido .

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o sólido . Ele é limitado pelo plano , pelo plano ( ) e pelo cilindro parabólico .
Entendendo as superfícies:
  • : é o plano , a base do nosso sólido.
  • : é um plano inclinado que sobe conforme aumenta.
  • : é um cilindro parabólico aberto ao longo do eixo .

Passo 3

Vamos determinar os limites de integração para cada variável.
Para 1 - x^2 >= 0 Rightarrow x^2 <= 1 Rightarrow -1 <= x <= 1 e :
A equação define uma parábola que abre para baixo no plano . Para encontrar os limites de , resolvemos :
Para cada valor de entre e , varia de (negativo mínimo, mas como está na parte positiva por causa do cilindro) até .
Para :
Para cada ponto no domínio, varia do plano ( ) até o plano .

Passo 4

Agora, montamos a integral tripla com os limites determinados:
integralx=-1^1 integraly=0^1 - x^2 integralz=0^y y , dz , dy , dx
Explicação:
  • Integramos de a .
  • Depois, integrando de a .
  • E por último, integramos de a .

Passo 5

Vamos resolver a integral mais interna, em relação a integralz=0^y y , dz = y cdot integral0^y dz = y cdot [z]0^y = y cdot y = y^2 :

Passo 6

Substituímos a integral interna resolvida na integral dupla:
integralx=-1^1 integraly=0^1 - x^2 y^2 , dy , dx
Agora, resolvemos a integral em relação a integral0^1 - x^2 y^2 , dy = [ y^33 ]0^1 - x^2 = (1 - x^2)^33 :

Passo 7

Substituímos a integral em integralx=-1^1 (1 - x^2)^33 , dx = 13 integral-1^1 (1 - x^2)^3 , dx resolvida na integral em :

Passo 8

Observamos que a função 13 cdot 2 integral0^1 (1 - x^2)^3 , dx = 23 integral0^1 (1 - x^2)^3 , dx é par (simétrica em relação ao eixo ), então podemos simplificar a integral:

Passo 9

Expandimos (1 - x^2)^3 = 1 - 3x^2 + 3x^4 - x^6 :
integral0^1 (1 - 3x^2 + 3x^4 - x^6) , dx = [ x - x^3 + 35x^5 - 17x^7 ]0^1 = 1 - 1 + 35 - 17 = 35 - 17 = 21 - 535 = 1635
Agora, integramos termo a termo:

Passo 10

Substituímos de volta na expressão anterior:
23 cdot 1635 = 32105

Resposta

A integral tripla é igual a .

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