Calcule a integral tripla.
, onde
é o sólido compreendido pelo plano
, o plano
e o cilindro parabólico
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular a integral tripla
, onde
é o sólido delimitado pelo plano
, pelo plano
(que é
) e pelo cilindro parabólico
.
Matéria envolvida: Cálculo de integrais triplas e definição de limites de integração em coordenadas cartesianas.
O que precisamos: Entender como definir os limites de integração para
,
e
com base nas superfícies que delimitam o sólido
.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o sólido
. Ele é limitado pelo plano
, pelo plano
(
) e pelo cilindro parabólico
.
Entendendo as superfícies:
-
: é o plano , a base do nosso sólido. -
: é um plano inclinado que sobe conforme aumenta. -
: é um cilindro parabólico aberto ao longo do eixo .
Passo 3
Vamos determinar os limites de integração para cada variável.
Para
e
:
A equação define uma parábola que abre para baixo no plano
. Para encontrar os limites de
, resolvemos
:
A equação
Para cada valor de
entre
e
,
varia de
(negativo mínimo, mas como
está na parte positiva por causa do cilindro) até
.
Para
:
Para cada ponto no domínio,
varia do plano
(
) até o plano
.
Para cada ponto
Passo 4
Agora, montamos a integral tripla com os limites determinados:
Explicação:
- Integramos
de a . - Depois, integrando
de a . - E por último, integramos
de a .
Passo 5
Vamos resolver a integral mais interna, em relação a
:
Passo 6
Substituímos a integral interna resolvida na integral dupla:
Agora, resolvemos a integral em relação a
:
Passo 7
Substituímos a integral em
resolvida na integral em
:
Passo 8
Observamos que a função
é par (simétrica em relação ao eixo
), então podemos simplificar a integral:
Passo 9
Expandimos
:
Agora, integramos termo a termo:
Passo 10
Substituímos de volta na expressão anterior:
Resposta
A integral tripla
é igual a
.