Use coordenadas cilíndricas para encontrar o volume do sólido. O sólido limitado acima pela esfera x^2 + y^2 + z^2 = 1 e abaixo pela folha de cone z = raiz(2 + y^2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para encontrar o volume de um sólido usando coordenadas cilíndricas. Esse sólido é limitado por duas superfícies: por cima, uma esfera definida por , e por baixo, uma folha de cone dada por . Pra resolver isso, vamos precisar entender como transformar essas equações para coordenadas cilíndricas e encontrar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as equações das superfícies para coordenadas cilíndricas. Sabemos que:
Esfera:
A equação da esfera fica:
Cone:
A equação do cone fica:

Passo 3

Agora, vamos encontrar onde essas duas superfícies se intersectam. Para isso, igualamos as duas expressões de :
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Como e são sempre positivos, a equação acima não tem solução real. Isso significa que as duas superfícies nunca se intersectam.

Passo 4

Dado que as superfícies não se encontram, precisamos analisar a posição delas em relação ao eixo . Observamos que:
  • Para qualquer valor de e , será maior que porque .
  • Portanto, o cone está sempre acima da esfera e não há região comum entre eles.

Passo 5

Como não existe uma região onde o sólido está limitado por ambas as superfícies simultaneamente, o volume desse sólido é zero.

Resposta

O volume do sólido é .

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