Use coordenadas cilíndricas para encontrar o volume do sólido. O sólido limitado acima pela esfera
e abaixo pela folha de cone
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para encontrar o volume de um sólido usando coordenadas cilíndricas. Esse sólido é limitado por duas superfícies: por cima, uma esfera definida por
, e por baixo, uma folha de cone dada por
. Pra resolver isso, vamos precisar entender como transformar essas equações para coordenadas cilíndricas e encontrar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as equações das superfícies para coordenadas cilíndricas. Sabemos que:
Esfera:
A equação da esfera fica:
A equação da esfera fica:
Cone:
A equação do cone fica:
A equação do cone fica:
Passo 3
Agora, vamos encontrar onde essas duas superfícies se intersectam. Para isso, igualamos as duas expressões de
:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Como
e
são sempre positivos, a equação acima não tem solução real. Isso significa que as duas superfícies nunca se intersectam.
Passo 4
Dado que as superfícies não se encontram, precisamos analisar a posição delas em relação ao eixo
. Observamos que:
- Para qualquer valor de
e , será maior que porque . - Portanto, o cone está sempre acima da esfera e não há região comum entre eles.
Passo 5
Como não existe uma região onde o sólido está limitado por ambas as superfícies simultaneamente, o volume desse sólido é zero.
Resposta
O volume do sólido é
.