Use uma integral tripla para encontrar o volume do sólido. O sólido do primeiro octante limitado pelos planos coordenados e o plano .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que está no primeiro octante (onde x, y e z são positivos) e que está limitado pelos planos coordenados e pelo plano . Para isso, vamos usar uma integral tripla, que é uma ferramenta matemática que nos ajuda a calcular volumes em três dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação do plano: . Esse plano corta os eixos x, y e z em pontos específicos. Vamos encontrar onde ele intercepta cada eixo para saber os limites das integrais.
Quando e :
Quando e :
Quando e :
Então, o plano intercepta os eixos em (4,0,0), (0,2,0) e (0,0,3).
Passo 3
Agora, vamos montar os limites de integração para a integral tripla. Como estamos no primeiro octante, x, y e z variam de 0 até os limites determinados pelo plano.
Vamos resolver a equação do plano para z:
Então, z varia de 0 a .
Passo 4
Agora, vamos encontrar os limites para y em função de x. Pela equação :
Então, y varia de 0 a .
Passo 5
Por fim, x varia de 0 a 4, já que quando y e z são zero, .
Passo 6
Agora, vamos montar a integral tripla para calcular o volume :