Use uma integral tripla para encontrar o volume do sólido. O sólido do primeiro octante limitado pelos planos coordenados e o plano 3x + 6y + 4z = 12.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que está no primeiro octante (onde x, y e z são positivos) e que está limitado pelos planos coordenados e pelo plano . Para isso, vamos usar uma integral tripla, que é uma ferramenta matemática que nos ajuda a calcular volumes em três dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação do plano: . Esse plano corta os eixos x, y e z em pontos específicos. Vamos encontrar onde ele intercepta cada eixo para saber os limites das integrais.
Quando e :
Quando e :
Quando e :
Então, o plano intercepta os eixos em (4,0,0), (0,2,0) e (0,0,3).

Passo 3

Agora, vamos montar os limites de integração para a integral tripla. Como estamos no primeiro octante, x, y e z variam de 0 até os limites determinados pelo plano.
Vamos resolver a equação do plano para z:

Então, z varia de 0 a .

Passo 4

Agora, vamos encontrar os limites para y em função de x. Pela equação :


Então, y varia de 0 a .

Passo 5

Por fim, x varia de 0 a 4, já que quando y e z são zero, .

Passo 6

Agora, vamos montar a integral tripla para calcular o volume :
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 7

Começamos integrando em relação a :

Passo 8

Agora, a integral fica:
Vamos integrar em relação a :
Substituindo os limites:
Simplificando:

Passo 9

Agora, a integral fica:
Vamos integrar em relação a :
Somando tudo:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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