Calcule a integral iterada. integral0^1 integral1-x^1+x(2 x-3 y^2) d y d x

Passo 1

Vamos resolver uma integral iterada: . Nesse exercício, estamos trabalhando com cálculo de integrais duplas. Para resolver, precisamos saber como integrar funções polinomiais e entender os limites de integração que definem a região onde vamos calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a função em relação a , mantendo constante. Isso significa que tratamos como um número fixo enquanto integramos em .

Passo 3

A integral de em relação a é , porque é constante. Já a integral de em relação a é .

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de integração para [ 2x cdot y - y^3 ]1 - x^1 + x , que vão de a . Então, temos:

Passo 5

Vamos substituir 2x(1 + x) - (1 + x)^3 pelos limites 2x(1 - x) - (1 - x)^3 e :
Para :
Para :

Passo 6

Subtraímos os valores obtidos nos limites:
[ 2x(1 + x) - (1 + x)^3 ] - [ 2x(1 - x) - (1 - x)^3 ]

Passo 7

Vamos expandir os termos cúbicos:
(1 + x)^3 = 1 + 3x + 3x^2 + x^3
(1 - x)^3 = 1 - 3x + 3x^2 - x^3
Substituindo na expressão:
2x(1 + x) - (1 + 3x + 3x^2 + x^3) - [2x(1 - x) - (1 - 3x + 3x^2 - x^3)]

Passo 8

Distribuímos os termos:
2x + 2x^2 - 1 - 3x - 3x^2 - x^3 - 2x + 2x^2 + 1 - 3x + 3x^2 - x^3

Passo 9

Agrupamos termos semelhantes:
Termos com 2x - 3x - 2x - 3x = -6x :
2x^2 - 3x^2 + 2x^2 + 3x^2 = 4x^2
Termos com - x^3 - x^3 = -2x^3 :
-1 + 1 = 0
Termos com -6x + 4x^2 - 2x^3 :
Termos constantes:
Então, a expressão simplifica para:

Passo 10

Agora, integramos essa expressão em relação a integral0^1 (-6x + 4x^2 - 2x^3) dx de 0 a 1:

Passo 11

Integrando cada termo:
integral -6x , dx = -3x^2
integral 4x^2 , dx = 43x^3
integral -2x^3 , dx = -24x^4 = -12x^4
Então, a integral se torna:
-3x^2 + 43x^3 - 12x^4 gr|0^1

Passo 12

Substituímos os limites:
Para -3(1)^2 + 43(1)^3 - 12(1)^4 = -3 + 43 - 12 :
0
Para -3 + 43 - 12 :
Portanto, a integral é:

Passo 13

Vamos calcular os termos:
-3 = -186, 43 = 86, -12 = -36
Somando:
-186 + 86 - 36 = -136

Resposta

O valor da integral é .

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