Calcule a integral iterada. integral0^1 integral0^y x d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral iterada . Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente sobre integrais múltiplas. Pra resolver isso, vamos precisar saber como calcular integrais definidas e entender como funcionam as integrais iteradas, que são basicamente integrais dentro de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral mais interna: . Isso significa que estamos integrando a função em relação a , de 0 até . A antiderivada de é . Então, vamos usar essa antiderivada para calcular a integral.

Passo 3

Agora, a gente avalia a antiderivada 12x^2 |0^y = 12y^2 - 12(0)^2 = 12y^2 nos limites de 0 até :
Então, a integral interna resulta em .

Passo 4

Agora que temos o resultado da integral interna, vamos para a integral externa: . Aqui, estamos integrando em relação a , de 0 até 1. A antiderivada de é .

Passo 5

Vamos avaliar a antiderivada 16y^3 |0^1 = 16(1)^3 - 16(0)^3 = 16 - 0 = 16 nos limites de 0 até 1:

Resposta

A integral iterada é igual a .

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