Calcule a integral iterada. integral0^2 integralraizx^3(x^2+y) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: integral0^2 integralraizx^3(x^2+y) d y d x. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais duplas. O que vamos precisar é integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna: integralraizx^3(x^2+y) d y. Aqui, tratamos como uma constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 3

Vamos integrar integral (x^2+y) d y = x^2y + 12y^2 + C em relação a . A integral de em relação a é e a integral de em relação a é . Então:

Passo 4

Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de [ x^2(3) + 12(3)^2 ] - [ x^2(raizx) + 12(raizx)^2 ] : de 3x^2 + 92 - x^2raizx - x2 a :
Simplificando:

Passo 5

Agora, temos que integrar essa expressão em relação a integral0^2 (3x^2 + 92 - x^2raizx - x2) d x de integral0^2 3x^2 , dx + integral0^2 92 , dx - integral0^2 x^2raizx , dx - integral0^2 x2 , dx a :
Vamos separar em partes mais simples:

Passo 6

Vamos resolver cada integral separadamente:

Passo 7

Agora, avaliamos cada antiderivada nos limites de 2^3 - 0^3 = 8 a 92 cdot 2 - 92 cdot 0 = 9 :
  1. 27 cdot 2^7/2 - 27 cdot 0^7/2 = 27 cdot (2^3 cdot raiz2) = 27 cdot 8raiz2 = 16raiz27 de 2^24 - 0^24 = 44 = 1 a :
  1. de a :
  1. de a :
  1. de a :

Passo 8

Agora, juntamos tudo:
8 + 9 - 16raiz27 - 1 = 16 - 16raiz27
Para simplificar, podemos fatorar:
16 - 16raiz27 = 16 (1 - raiz27) = 112 - 16raiz27

Resposta

O valor da integral é 112 - 16raiz27.

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