Calcule a integral iterada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla:
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais duplas. O que vamos precisar é integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral interna:
. Aqui, tratamos
como uma constante porque estamos integrando em relação a
.
Passo 3
Vamos integrar
em relação a
. A integral de
em relação a
é
e a integral de
em relação a
é
. Então:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de
: de
a
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, temos que integrar essa expressão em relação a
de
a
:
Vamos separar em partes mais simples:
Passo 6
Vamos resolver cada integral separadamente:
Passo 7
Agora, avaliamos cada antiderivada nos limites de
a
:
-
de a :
-
de a :
-
de a :
-
de a :
Passo 8
Agora, juntamos tudo:
Para simplificar, podemos fatorar:
Resposta
O valor da integral é
.