Calcule a integral iterada. integral0^1 integral0^y y d x d y

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular uma integral iterada, que significa fazer duas integrações seguidas. A função que vamos integrar é , e os limites de integração são de até para a primeira integral, e de até para a segunda integral. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a integral mais interna, que é em relação a integral0^y y , dx . A função a ser integrada é y integral0^y dx , e integral0^y dx = x gr|0^y = y - 0 = y é tratado como uma constante nessa etapa porque estamos integrando em relação a y cdot y = y^2 . A integral fica assim:
Como é constante em relação a , podemos tirar para fora da integral:
Agora, calculamos a integral de de até :
Então, multiplicamos por :

Passo 3

Agora, vamos integrar o resultado integral0^1 y^2 , dy em relação a integral y^2 , dy = y^33 gr|0^1 , de 1^33 - 0^33 = 13 - 0 = 13 até :
Para integrar , usamos a regra da potência da integração, que diz que , onde é a constante de integração. Aplicando isso:
Agora, substituímos os limites de integração:

Resposta

O valor da integral iterada é .

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