Calcule a integral iterada.
integral0^2 integral1^2 x e^xy d y d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular essa integral dupla que você mandou:
integral0^2 integral1^2 x e^xy , dy , dx
Aqui, estamos lidando com integrais iteradas, que servem para calcular áreas ou volumes quando temos funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar integrar primeiro em relação a e depois em relação a . Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é em relação a integral1^2 x e^xy , dy :
x e^x integral1^2 1y , dy
Nessa parte, e são constantes porque estamos integrando em relação a . Então, podemos simplificar a expressão:

Passo 3

Agora, precisamos lembrar que a integral de integral 1y , dy = ln|y| + C em relação a integral1^2 1y , dy = ln(2) - ln(1) = ln(2) - 0 = ln(2) é o logaritmo natural:
Então, aplicando os limites de integração de 1 a 2:

Passo 4

Voltando à nossa expressão:
x e^x cdot ln(2)
Agora, temos a expressão simplificada da integral interna. O próximo passo é integrar isso em relação a integral0^2 x e^x ln(2) , dx no intervalo de 0 a 2:
ln(2) integral0^2 x e^x , dx
Como é uma constante, podemos tirá-la da integral:

Passo 5

Agora, precisamos calcular a integral:
integral x e^x , dx
Para isso, usamos a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Escolhemos:
u = x Rightarrow du = dx
dv = e^x , dx Rightarrow v = e^x
Aplicando a fórmula:
integral x e^x , dx = x e^x - integral e^x , dx = x e^x - e^x + C = e^x(x - 1) + C

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 2:
integral0^2 x e^x , dx = [ e^x(x - 1) ]0^2 = e^2(2 - 1) - e^0(0 - 1) = e^2(1) - 1(-1) = e^2 + 1

Passo 7

Voltando à nossa expressão original:
ln(2) cdot (e^2 + 1)

Passo 8

Finalmente, temos a resposta:
ln(2) cdot (e^2 + 1)

Resposta

A integral dupla é igual a .

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