Calcule a integral iterada.
Passo 1
Beleza, vamos calcular essa integral dupla que você mandou:
Aqui, estamos lidando com integrais iteradas, que servem para calcular áreas ou volumes quando temos funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral interna, que é em relação a
:
Nessa parte,
e
são constantes porque estamos integrando em relação a
. Então, podemos simplificar a expressão:
Passo 3
Agora, precisamos lembrar que a integral de
em relação a
é o logaritmo natural:
Então, aplicando os limites de integração de 1 a 2:
Passo 4
Voltando à nossa expressão:
Agora, temos a expressão simplificada da integral interna. O próximo passo é integrar isso em relação a
no intervalo de 0 a 2:
Como
é uma constante, podemos tirá-la da integral:
Passo 5
Agora, precisamos calcular a integral:
Para isso, usamos a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
Escolhemos:
Aplicando a fórmula:
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 2:
Passo 7
Voltando à nossa expressão original:
Passo 8
Finalmente, temos a resposta:
Resposta
A integral dupla
é igual a
.