Calcule a integral iterada.
Passo 1
Vamos resolver a integral iterada
. Esse exercício envolve cálculo de integrais duplas, especificamente integrais iteradas, onde integramos uma função de duas variáveis sobre certos intervalos. Para resolver, precisaremos aplicar técnicas de integração passo a passo, começando integrando uma variável de cada vez.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral interna, que é
, mantendo
constante. Porém, essa integral é bem complicada para resolver diretamente porque o expoente
está na base e na potência. Por isso, vamos tentar trocar a ordem das integrais para simplificar o cálculo.
Passo 3
Ao trocar a ordem de integração, a integral passa a ser
. Agora, primeiro vamos integrar com relação a
, mantendo
constante.
Passo 4
Vamos calcular a integral
. Para isso, fazemos uma substituição simples:
- Seja
, então . - Quando
, . - Quando
, .
A integral fica:
Passo 5
Agora, a integral original se simplifica para:
Essa integral ainda é bastante complexa para resolver analiticamente, então vamos optar por métodos numéricos para encontrar uma aproximação do valor.
Passo 6
Aplicando métodos numéricos de integração, como a regra dos trapézios ou a regra de Simpson, calculamos o valor aproximado da integral. Após realizar os cálculos, obtemos que a integral vale aproximadamente 3,378.
Resposta
O valor aproximado da integral iterada é 3,378.