Se |raizf(x)3| <= x+1 para todo x real, determine lim x 2 f(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão diz que o valor absoluto de raizf(x)3 é menor ou igual a x + 1 para todo número real x. A matéria que vamos usar aqui é de limites e desigualdades. Precisaremos manipular essa desigualdade para descobrir o que acontece com f(x) quando x se aproxima de 2.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a desigualdade que temos:
|raizf(x)3| <= x + 1
Como o valor absoluto de qualquer coisa é sempre positivo ou zero, podemos remover o valor absoluto para facilitar:
raizf(x)3 <= x + 1

Passo 3

Agora, vamos isolar raizf(x). Para isso, multiplicamos ambos os lados da desigualdade por 3:
raizf(x) <= 3(x + 1)

Passo 4

Para eliminar a raiz quadrada, vamos elevar ambos os lados ao quadrado. Lembrando que, ao elevar uma desigualdade ao quadrado, a desigualdade se mantém se ambos os lados forem positivos, o que é o caso aqui:
f(x) <= [3(x + 1)]^2
f(x) <= 9(x + 1)^2

Passo 5

Agora, queremos encontrar o limite de f(x) quando x se aproxima de 2. Sabemos que f(x) é sempre menor ou igual a 9(x + 1)^2. Portanto, vamos calcular o limite de 9(x + 1)^2 quando x tende a 2:
limx to 2 9(x + 1)^2 = 9(2 + 1)^2 = 9 times 9 = 81
Isso nos dá uma cota superior para o limite de f(x).

Passo 6

Além disso, como raizf(x) é sempre uma quantidade real, f(x) também é sempre maior ou igual a 0:
0 <= f(x) <= 9(x + 1)^2
Assim, o limite de f(x) quando x tende a 2 está entre 0 e 81.

Passo 7

Para determinar o limite exato, percebemos que, na desigualdade original, a única forma de manter a igualdade para todos os x é que f(x) seja igual a 9(x + 1)^2. Portanto:
f(x) = 9(x + 1)^2

Resposta

Portanto,
limx to 2 f(x) = 81

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