Prove, usando a definição, que
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para provar, usando a definição de limite, que quando
se aproxima de
, a expressão
se aproxima de
. Vamos usar a definição formal de limite para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a definição de limite. Dizemos que:
se, para todo número pequeno
, existe um número
tal que sempre que
, então
.
Passo 3
Neste caso, nossa função é
,
e
. Então, precisamos mostrar que para qualquer
, existe um
tal que:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão
:
Então, queremos que
.
Passo 5
Para garantir que
, podemos escolher
de forma que:
Assim, podemos escolher
.
Passo 6
Resumindo, para todo
, se escolhermos
, então sempre que
, teremos:
Isso prova que
.
Resposta
Portanto, usando a definição de limite, mostramos que
.