Prove, usando a definição, que
lim x -2(4 x+1)=-7

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para provar, usando a definição de limite, que quando se aproxima de , a expressão se aproxima de . Vamos usar a definição formal de limite para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a definição de limite. Dizemos que:
limx to a f(x) = L
se, para todo número pequeno , existe um número tal que sempre que , então .

Passo 3

Neste caso, nossa função é 0 < |x + 2| < de, e . Então, precisamos mostrar que para qualquer , existe um tal que:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão |(4x + 1) + 7| = |4x + 8| = 4|x + 2| :
Então, queremos que .

Passo 5

Para garantir que 4|x + 2| < epsilon implies |x + 2| < epsilon4 , podemos escolher de forma que:
Assim, podemos escolher .

Passo 6

Resumindo, para todo |4x + 1 + 7| = 4|x + 2| < 4 cdot epsilon4 = epsilon , se escolhermos , então sempre que , teremos:
Isso prova que .

Resposta

Portanto, usando a definição de limite, mostramos que .

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