Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral dupla, que é tipo uma integral dentro de outra. O enunciado pede para calcular:
Pra resolver isso, vamos precisar saber sobre integrais iteradas e como integrar funções que dependem de uma variável. Basicamente, a gente vai integrar primeiro em relação a e depois em relação a .
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral interna, que é em relação a . A expressão é:
Aqui, é uma função que depende só de , então quando a gente integra em relação a , ela é tratada como uma constante.
Passo 3
Integrando em relação a , a gente tem:
Então, a integral interna simplifica para .
Passo 4
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integralpi x^pi^22 cos y cdot (y + 1) , dy
Vamos integrar essa expressão em relação a .
Passo 5
Para integrar integral u , dv = uv - integral v , du , podemos usar a técnica de integração por partes, que é usada quando temos o produto de duas funções. A fórmula de integração por partes é:
Vamos escolher:
então
então
Passo 6
Aplicando a fórmula:
integral cos y cdot (y + 1) , dy = (y + 1) cdot sin y - integral sin y cdot 1 , dy
Agora, integramos integral sin y , dy = -cos y :
(y + 1) cdot sin y - (-cos y) = (y + 1) cdot sin y + cos y
Então, substituindo de volta:
Passo 7
Agora, avaliamos essa expressão nos limites de [ (y + 1) cdot sin y + cos y ]pi x^pi^22 e ( (pi^22 + 1) cdot sin(pi^22) + cos(pi^22) ) - ( (pi x + 1) cdot sin(pi x) + cos(pi x) ) :