Calcule a integral iterada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral iterada: . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente de integração iterada. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções em mais de uma variável e entender como essas integrais se encaixam.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a integral interna: . Note que a função depende apenas de
, então, para essa parte da integração, pode ser tratada como uma constante em relação a
.
Passo 3
Integrando em relação a
, ficamos com:
Passo 4
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa. Ficamos com:
Essa integral é um pouco mais complicada, mas a gente consegue resolver usando uma técnica chamada substituição.
Passo 5
Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja
. Então, derivando ambos os lados em relação a
, temos:
Passo 6
Substituindo na integral, também precisamos mudar os limites de integração de
para
. Quando
,
. Quando
,
. Assim, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar em relação a
:
Aplicando os limites de 0 a 1:
Passo 8
Sabemos que
. Substituindo isso na expressão:
Resposta
A integral iterada é igual a
.