Calcule a integral iterada. integral0^1 integral0^x sen(x^2) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral iterada: . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente de integração iterada. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções em mais de uma variável e entender como essas integrais se encaixam.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a integral interna: . Note que a função depende apenas de , então, para essa parte da integração, pode ser tratada como uma constante em relação a .

Passo 3

Integrando em relação a integral0^x sen(x^2) , dy = sen(x^2) cdot (x - 0) = x cdot sen(x^2) , ficamos com:

Passo 4

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa. Ficamos com:
Essa integral é um pouco mais complicada, mas a gente consegue resolver usando uma técnica chamada substituição.

Passo 5

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja du = 2x , dx Rightarrow x , dx = du2 . Então, derivando ambos os lados em relação a , temos:

Passo 6

Substituindo na integral, também precisamos mudar os limites de integração de integral0^1 x cdot sen(x^2) , dx = integral0^1 sen(u) cdot du2 = 12 integral0^1 sen(u) , du para . Quando , . Quando , . Assim, a integral fica:

Passo 7

Agora, vamos integrar em relação a integral sen(u) , du = -cos(u) + C :
Aplicando os limites de 0 a 1:
12 [ -cos(u) ]0^1 = 12 ( -cos(1) + cos(0) )

Passo 8

Sabemos que 12 ( -cos(1) + 1 ) = 1 - cos(1)2 . Substituindo isso na expressão:

Resposta

A integral iterada é igual a .

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