Obter as soluções gerais das EDO de ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
l) ;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar as soluções gerais de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem e, em seguida, verificar se essas soluções estão corretas, justificando cada passo.
Conteúdo da matéria:
Estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem, especificamente com a Equação de Bernoulli, que é uma forma especial de EDO que pode ser transformada em uma equação linear.
O que vamos precisar:
  • Conhecimento sobre Equações Diferenciais de Bernoulli.
  • Técnicas de transformação para resolver a equação.
  • Habilidade para verificar a solução encontrada substituindo de volta na equação original.

Passo 2

Vamos começar analisando a equação dada:
Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolarmos :
Podemos reescrever isso como:
Essa forma se assemelha à Equação de Bernoulli, que é dada por:
No nosso caso, temos:

Passo 3

A Equação de Bernoulli pode ser transformada em uma equação linear usando a substituição . Para o nosso caso:
Agora, precisamos encontrar . Diferenciando ambos os lados em relação a :

Passo 4

Vamos substituir da equação original na expressão de :
Lembrando que , temos:
Agora, a equação está na forma linear:

Passo 5

Para resolver a equação linear, vamos encontrar o fator integrante :
Multiplicamos toda a equação por :
Isso simplifica para:

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, resolvemos para :
Lembrando que , temos:
Simplificando os sinais:

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
onde é uma constante arbitrária.

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Obter as soluções gerais das EDO de ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
i) ;
Obter as soluções gerais das EDO de ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
k) ;
Obter as soluções gerais das EDO de ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
n) ;
Calcule a integral iterada: