Obter as soluções gerais das EDO de ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
n) ;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Precisamos encontrar as soluções gerais da Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem dada por:
Para resolver isso, vamos usar o método de equações exatas. Isso envolve verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função potencial cuja derivada total corresponde à equação dada.

Passo 2

Vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação exata:
Onde:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais de em relação a e de em relação a :
Como , a equação não é exata. Portanto, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 4

Vamos tentar encontrar um fator integrante que depende apenas de ou . Para simplificar, assumimos que o fator integrante depende apenas de . A condição para isso é:
Como essa expressão depende de e , nosso palpite inicial não funcionou. Então, tentamos um fator integrante que depende de uma combinação de e . Observe que a equação pode ser simplificada para uma forma homogênea, permitindo a substituição .

Passo 5

Vamos usar a substituição , o que implica e . Substituindo na equação original:
Simplificando:
Dividindo todos os termos por :

Passo 6

Distribuindo e rearranjando os termos, obtemos:
Calculando os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Isolando :

Passo 7

Agora, separamos as variáveis e :
Integrando ambos os lados:

Passo 8

Vamos simplificar a integral à esquerda. Observamos que o numerador é a derivada do denominador:
Mas nosso numerador é , que é metade disso:
Então, podemos reescrever a integral como:
A integral do lado direito:

Passo 9

Igualando as integrais:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Onde .
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde é uma constante arbitrária.

Passo 10

Lembrando que , substituímos de volta:
Multiplicando todos os termos por :

Resposta

A solução geral da EDO é:
onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Obter as soluções gerais das EDO de ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
l) ;
Obter as soluções gerais das EDO de ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
i) ;
Calcule a integral iterada:
Obter as soluções gerais das EDO de ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
c) ;