Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
n)
;
n)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Precisamos encontrar as soluções gerais da Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem dada por:
Para resolver isso, vamos usar o método de equações exatas. Isso envolve verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função potencial cuja derivada total corresponde à equação dada.
Passo 2
Vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação exata:
Onde:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
:
Como
, a equação não é exata. Portanto, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 4
Vamos tentar encontrar um fator integrante que depende apenas de
ou
. Para simplificar, assumimos que o fator integrante
depende apenas de
. A condição para isso é:
Como essa expressão depende de
e
, nosso palpite inicial não funcionou. Então, tentamos um fator integrante que depende de uma combinação de
e
. Observe que a equação pode ser simplificada para uma forma homogênea, permitindo a substituição
.
Passo 5
Vamos usar a substituição
, o que implica
e
. Substituindo na equação original:
Simplificando:
Dividindo todos os termos por
:
Passo 6
Distribuindo e rearranjando os termos, obtemos:
Calculando os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Isolando
:
Passo 7
Agora, separamos as variáveis
e
:
Integrando ambos os lados:
Passo 8
Vamos simplificar a integral à esquerda. Observamos que o numerador é a derivada do denominador:
Mas nosso numerador é
, que é metade disso:
Então, podemos reescrever a integral como:
A integral do lado direito:
Passo 9
Igualando as integrais:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Onde
.
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde
é uma constante arbitrária.
Passo 10
Lembrando que
, substituímos de volta:
Multiplicando todos os termos por
:
Resposta
A solução geral da EDO é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
l) ;
l)
Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
i) ;
i)
Calcule a integral iterada:
Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
c) ;
c)