Calcule a integral iterada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla:
. A matéria aqui é de cálculo integral, especificamente integrais iteradas. Vamos precisar saber como integrar funções em duas variáveis, começando por uma das variáveis e depois a outra.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral interna, que é em relação a
. A função que vamos integrar é
. Note que
é tratado como uma constante nessa parte.
Passo 3
Vamos integrar
em relação a
. A integral de
é
, então:
Passo 4
Agora, aplicamos os limites de integração para
, que vão de
a
:
Passo 5
Agora, substituímos esse resultado na integral externa, que é em relação a
:
Passo 6
Vamos simplificar a fração
. Expandindo o numerador:
Então:
Passo 7
Agora, a integral fica:
Passo 8
Vamos resolver cada parte:
Passo 9
Substituindo de volta:
Resposta
A integral vale
.