Calcule a integral iterada. integral0^1 integralx-1^0 2 yx+1 d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: . A matéria aqui é de cálculo integral, especificamente integrais iteradas. Vamos precisar saber como integrar funções em duas variáveis, começando por uma das variáveis e depois a outra.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é em relação a . A função que vamos integrar é . Note que é tratado como uma constante nessa parte.

Passo 3

Vamos integrar integral 2yx+1 , dy = 2x+1 cdot y^22 = y^2x+1 em relação a . A integral de é , então:

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de integração para [ y^2x+1 ]y=x-1^y=0 = 0^2x+1 - (x-1)^2x+1 = -(x-1)^2x+1 , que vão de a :

Passo 5

Agora, substituímos esse resultado na integral externa, que é em relação a integral0^1 -(x-1)^2x+1 , dx = -integral0^1 (x-1)^2x+1 , dx :

Passo 6

Vamos simplificar a fração (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1 . Expandindo o numerador:
x^2 - 2x + 1x+1 = (x+1)(x-3) + 4x+1 = x-3 + 4x+1
Então:

Passo 7

Agora, a integral fica:
-integral0^1 (x - 3 + 4x+1) , dx = -( integral0^1 x , dx - 3integral0^1 dx + 4integral0^1 1x+1 , dx )

Passo 8

Vamos resolver cada parte:

Passo 9

Substituindo de volta:
-( 12 - 3 cdot 1 + 4 ln(2) ) = -( 12 - 3 + 4 ln(2) ) = -( -52 + 4 ln(2) ) = 52 - 4 ln(2)

Resposta

A integral vale .

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