Utilize o teste dos cariohos para provar a não existência dos seguintes limites: lim (x, y) (2,0) (x-2)^2 y(x-2)^4+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que o limite não existe. Isso envolve o estudo de limites em funções de duas variáveis. Para isso, vamos utilizar o “teste dos cariochos”, que basicamente consiste em aproximar o ponto de diferentes caminhos e ver se o limite é o mesmo. Se mudarem, o limite não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a notação para facilitar. Vamos definir e . Assim, o limite se transforma em .

Passo 3

Vamos testar primeiro o caminho onde u^2 cdot 0u^4 + 0^2 = 0u^4 = 0 (ou seja, ). Substituindo na função:
Então, ao se aproximar de pelo eixo , o limite é 0.

Passo 4

Agora, vamos escolher um caminho diferente. Vamos tentar u^2 cdot u^2u^4 + u^4 = u^42u^4 = 12 . Substituindo na função:
Assim, ao se aproximar de pelo caminho , o limite é .

Passo 5

Percebemos que ao escolher caminhos diferentes, o limite da função resulta em valores diferentes (0 e ). Isso significa que o limite depende do caminho que escolhemos para nos aproximarmos de .

Resposta

Portanto, pelo teste dos cariochos, concluímos que o limite não existe.

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