Calcule a integral iterada. integral0^m / 2 integral0^x integral0^x cos (x+y+z) d z d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral tripla iterada:
integral0^m2 integral0^x integral0^x cos (x + y + z) , dz , dx , dy
Estamos lidando com integrais múltiplas, especificamente uma integral tripla envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos integrar passo a passo, começando pela variável mais interna e indo para as externas.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a integral0^x cos(x + y + z) , dz = sin(x + y + z) |0^x . A expressão que vamos integrar é com variando de 0 a .
A antiderivada de em relação a é . Aqui, , então a integral em relação a fica:

Passo 3

Agora, aplicamos os limites de integração:
sin(x + y + x) - sin(x + y + 0) = sin(2x + y) - sin(x + y)
Então, a integral vira:
integral0^m2 integral0^x [sin(2x + y) - sin(x + y)] , dx , dy

Passo 4

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral0^m2 integral0^x sin(2x + y) , dx , dy - integral0^m2 integral0^x sin(x + y) , dx , dy

Passo 5

Primeiro, resolvemos a integral de integral sin(2x + y) , dx = -12 cos(2x + y) + C em relação a -12 cos(2x + y) + 12 cos(y) :
Aplicando os limites de de 0 a :

Passo 6

Agora, fazemos a mesma coisa para a segunda integral integral sin(x + y) , dx = -cos(x + y) + C :
- cos(2x + y) + cos(y)
Aplicando os limites de de 0 a :

Passo 7

Substituindo de volta nas integrais principais:
[-12 cos(2x + y) + 12 cos(y)] - [-cos(2x + y) + cos(y)]
Simplificando:
-12 cos(2x + y) + 12 cos(y) + cos(2x + y) - cos(y)
12 cos(2x + y) - 12 cos(y)

Passo 8

Agora, integremos em relação a integral0^m2 ( 12 cos(2x + y) - 12 cos(y) ) dy de 0 a 12 integral0^m2 cos(2x + y) , dy - 12 integral0^m2 cos(y) , dy :
Isso resulta em:

Passo 9

Calculando cada parte:
Para sin(2x + y) |0^m2 = sin(2x + m2) - sin(2x) :
sin(y) |0^m2 = sin(m2) - 0 = sin(m2)
Para :

Passo 10

Substituindo de volta:
12 [ sin(2x + m2) - sin(2x) ] - 12 sin(m2)

Passo 11

Simplificando a expressão:
12 sin(2x + m2) - 12 sin(2x) - 12 sin(m2)

Passo 12

Finalmente, integramos em relação a 12 integral0^m2 sin(2x + m2) dx - 12 integral0^m2 sin(2x) , dx - 12 sin(m2) cdot m2 de 0 a 12 [ -12 cos(2x + m2) |0^m2 ] - 12 [ -12 cos(2x) |0^m2 ] - m4 sin(m2) :
Calculando cada integral:

Passo 13

Aplicando os limites:
12 [ -12 ( cos(m + m2) - cos(m2) ) ] - 12 [ -12 ( cos(m) - cos(0) ) ] - m4 sin(m2)
Simplificando:
-14 ( cos(3m2) - cos(m2) ) + 14 ( cos(m) - 1 ) - m4 sin(m2)

Resposta

A integral tripla calculada resulta em:
-14 cos(3m2) + 14 cos(m2) + 14 cos(m) - 14 - m4 sin(m2)

Exercícios relacionados

Determine os momentos de inércia I_epsilon, I_, I_0 para a lâmina do Exercício 7.
_ Questão 14. Calcule os limites abaixo.
§ lim x +infty x^2-3 x+1-x^4+1
Calcule a integral tripla. integral triplaE y z cos (x^5) d V, onde
SCA
E=(x, y, z) mid 0 <= x <= 1,0 <= y <= x, x <= z <= 2 x
Na Regra do Ponto Médio para as Integrais Triplas, usamos a soma tripla de Riemann para aproximar a integral tripla em uma caixa B, onde f(x, y, z) é calculada no centro (barxf. baryj, zk) da caixa Bi, k. Utilize a Regra do Ponto Médio para estimar integral triplan raizx^2+y^2+z^2 d V, onde B ê o cubo definido por 0 <= x <= 4,0 <= y <= 4,0 <= z <= 4. Divida B em oito cubos de igual tamanho.