Calcule a integral iterada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral tripla iterada:
Estamos lidando com integrais múltiplas, especificamente uma integral tripla envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos integrar passo a passo, começando pela variável mais interna e indo para as externas.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar em relação a
. A expressão que vamos integrar é
com
variando de 0 a
.
A antiderivada de
em relação a
é
. Aqui,
, então a integral em relação a
fica:
Passo 3
Agora, aplicamos os limites de integração:
Então, a integral vira:
Passo 4
Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Passo 5
Primeiro, resolvemos a integral de
integral sin(2x + y) , dx = -12 cos(2x + y) + C em relação a
-12 cos(2x + y) + 12 cos(y) :
Aplicando os limites de
de 0 a
:
Passo 6
Agora, fazemos a mesma coisa para a segunda integral
integral sin(x + y) , dx = -cos(x + y) + C :
Aplicando os limites de
de 0 a
:
Passo 7
Substituindo de volta nas integrais principais:
Simplificando:
Passo 8
Agora, integremos em relação a
integral0^m2 ( 12 cos(2x + y) - 12 cos(y) ) dy de 0 a
12 integral0^m2 cos(2x + y) , dy - 12 integral0^m2 cos(y) , dy :
Isso resulta em:
Passo 9
Calculando cada parte:
Para
sin(2x + y) |0^m2 = sin(2x + m2) - sin(2x) :
Para
:
Passo 10
Substituindo de volta:
Passo 11
Simplificando a expressão:
Passo 12
Finalmente, integramos em relação a
12 integral0^m2 sin(2x + m2) dx - 12 integral0^m2 sin(2x) , dx - 12 sin(m2) cdot m2 de 0 a
12 [ -12 cos(2x + m2) |0^m2 ] - 12 [ -12 cos(2x) |0^m2 ] - m4 sin(m2) :
Calculando cada integral:
Passo 13
Aplicando os limites:
Simplificando:
Resposta
A integral tripla calculada resulta em:
Exercícios relacionados
Determine os momentos de inércia
I_epsilon, I_, I_0 para a lâmina do Exercício 7.
_ Questão 14. Calcule os limites abaixo.
§lim x +infty x^2-3 x+1-x^4+1
§
Calcule a integral tripla.
integral triplaE y z cos (x^5) d V , onde
SCA
SCA
Na Regra do Ponto Médio para as Integrais Triplas, usamos a soma tripla de Riemann para aproximar a integral tripla em uma caixa
B , onde
f(x, y, z) é calculada no centro
(barxf .
baryj, zk) da caixa
Bi, k . Utilize a Regra do Ponto Médio para estimar
integral triplan raizx^2+y^2+z^2 d V , onde
B ê o cubo definido por 0
<= x <= 4,0 <= y <= 4,0 <= z <= 4 . Divida
B em oito cubos de igual tamanho.