Na Regra do Ponto Médio para as Integrais Triplas, usamos a soma tripla de Riemann para aproximar a integral tripla em uma caixa , onde é calculada no centro . da caixa . Utilize a Regra do Ponto Médio para estimar , onde ê o cubo definido por 0 . Divida em oito cubos de igual tamanho.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão que você me passou fala sobre a Regra do Ponto Médio para Integrais Triplas. Basicamente, queremos aproximar o valor de uma integral tripla dentro de um cubo, dividindo esse cubo em partes menores e usando o ponto médio de cada parte para calcular a função. No nosso caso, precisamos estimar a integral tripla de no cubo definido por , e . Para isso, vamos dividir em oito cubos menores de igual tamanho e aplicar a Regra do Ponto Médio.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como dividir o cubo em oito cubos menores de igual tamanho. Como cada lado de mede 4 unidades, ao dividirmos cada dimensão (, , ) pela metade, cada cubo menor terá lados de comprimento unidades. Assim, cada subcubo terá volume:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as coordenadas dos centros de cada um desses oito cubos menores. Como cada subcubo tem lados de 2 unidades, os centros estarão localizados a 1 unidade de cada face do subcubo. Portanto, as coordenadas dos centros () serão:
Passo 4
Com os centros encontrados, vamos calcular o valor da função f(1,1,1) = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3 f(1,1,3) = raiz1^2 + 1^2 + 3^2 = raiz11 f(1,3,1) = raiz1^2 + 3^2 + 1^2 = raiz11 f(1,3,3) = raiz1^2 + 3^2 + 3^2 = raiz19 f(3,1,1) = raiz3^2 + 1^2 + 1^2 = raiz11 f(3,1,3) = raiz3^2 + 1^2 + 3^2 = raiz19 f(3,3,1) = raiz3^2 + 3^2 + 1^2 = raiz19 f(3,3,3) = raiz3^2 + 3^2 + 3^2 = raiz27 em cada um desses pontos:
Passo 5
Agora, aplicando a Regra do Ponto Médio, somamos todos esses valores da função multiplicados pelo volume de cada subcubo: