Na Regra do Ponto Médio para as Integrais Triplas, usamos a soma tripla de Riemann para aproximar a integral tripla em uma caixa B, onde f(x, y, z) é calculada no centro (barxf. baryj, zk) da caixa Bi, k. Utilize a Regra do Ponto Médio para estimar integral triplan raizx^2+y^2+z^2 d V, onde B ê o cubo definido por 0 <= x <= 4,0 <= y <= 4,0 <= z <= 4. Divida B em oito cubos de igual tamanho.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão que você me passou fala sobre a Regra do Ponto Médio para Integrais Triplas. Basicamente, queremos aproximar o valor de uma integral tripla dentro de um cubo, dividindo esse cubo em partes menores e usando o ponto médio de cada parte para calcular a função. No nosso caso, precisamos estimar a integral tripla de no cubo definido por , e . Para isso, vamos dividir em oito cubos menores de igual tamanho e aplicar a Regra do Ponto Médio.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como dividir o cubo De em oito cubos menores de igual tamanho. Como cada lado de mede 4 unidades, ao dividirmos cada dimensão ( , , ) pela metade, cada cubo menor terá lados de comprimento unidades. Assim, cada subcubo terá volume:
ú

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as coordenadas dos centros de cada um desses oito cubos menores. Como cada subcubo tem lados de 2 unidades, os centros estarão localizados a 1 unidade de cada face do subcubo. Portanto, as coordenadas dos centros ( (1,1,1), (1,1,3), (1,3,1), (1,3,3), (3,1,1), (3,1,3), (3,3,1), (3,3,3) ) serão:

Passo 4

Com os centros encontrados, vamos calcular o valor da função f(1,1,1) = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3 f(1,1,3) = raiz1^2 + 1^2 + 3^2 = raiz11 f(1,3,1) = raiz1^2 + 3^2 + 1^2 = raiz11 f(1,3,3) = raiz1^2 + 3^2 + 3^2 = raiz19 f(3,1,1) = raiz3^2 + 1^2 + 1^2 = raiz11 f(3,1,3) = raiz3^2 + 1^2 + 3^2 = raiz19 f(3,3,1) = raiz3^2 + 3^2 + 1^2 = raiz19 f(3,3,3) = raiz3^2 + 3^2 + 3^2 = raiz27 em cada um desses pontos:

Passo 5

Agora, aplicando a Regra do Ponto Médio, somamos todos esses valores da função multiplicados pelo volume de cada subcubo:
integral triplaB raizx^2+y^2+z^2 , dV approx De
Substituindo approx 8 times ( raiz3 + 3raiz11 + 3raiz19 + raiz27 ) :

Resposta

Portanto, a estimativa da integral tripla usando a Regra do Ponto Médio é:
integral triplaB raizx^2+y^2+z^2 , dV approx 8 times ( raiz3 + 3raiz11 + 3raiz19 + raiz27 )

Exercícios relacionados

Calcule a integral tripla. integral triplaE y z cos (x^5) d V, onde
SCA
E=(x, y, z) mid 0 <= x <= 1,0 <= y <= x, x <= z <= 2 x
Calcule a integral iterada. integral0^m / 2 integral0^x integral0^x cos (x+y+z) d z d x d y
Calcule a integral iterada. integral0^1 integral0^z integral0^y z e^-x^2 d x d y d z
Utilize a Tabela de Integrais (nas Páginas de Referência 6-10) ou um sistema de computaçaio algébrica para determinar o valor exato da integral tripla da parte (a).