Determine os momentos de inércia
para a lâmina do Exercício 7.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Você precisa encontrar os momentos de inércia
,
e
para uma lâmina específica que foi mencionada no Exercício 7. O conteúdo que vamos usar aqui envolve momentos de inércia, que são medidas de como a massa de um objeto está distribuída em relação a um eixo. Para resolver isso, vamos precisar das fórmulas de momento de inércia para as formas geométricas envolvidas na lâmina e entender sobre o Teorema de Steiner caso o eixo não passe pelo centro de massa.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma da lâmina no Exercício 7. Suponhamos que seja um retângulo, pois é uma forma comum. O momento de inércia de um retângulo em relação ao seu eixo central (paralelo à base) é dado por:
onde
é a largura e
é a altura do retângulo.
Passo 3
Agora, vamos determinar
. Se
representa um eixo paralelo ao eixo central, mas deslocado, usamos o Teorema de Steiner (ou Teorema dos Eixos Paralelos):
Aqui,
é a área da lâmina e
é a distância entre os eixos. Vamos calcular cada termo separadamente. A área
do retângulo é
e
seria a distância fornecida no exercício.
Passo 4
Para
, supondo que esse eixo seja perpendicular ao plano da lâmina e passando por algum ponto específico, usamos a fórmula geral do momento de inércia para eixos perpendiculares:
Dependendo de onde o eixo está localizado, podemos precisar aplicar novamente o Teorema de Steiner.
Passo 5
Finalmente, para
, que geralmente representa o momento de inércia em relação ao eixo de rotação principal ou a origem, aplicamos a mesma lógica:
onde
é a distância do eixo central até o eixo
considerado.
Resposta
Assim, calculando cada um desses momentos de inércia com as fórmulas acima e os valores específicos fornecidos no Exercício 7, você obterá
,
e
para a lâmina em questão.
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§
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(m)
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Calcule a integral tripla.
, onde
SCA
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