Calcule a integral tripla. integral triplaE y z cos (x^5) d V, onde
SCA
E=(x, y, z) mid 0 <= x <= 1,0 <= y <= x, x <= z <= 2 x

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral tripla da função E = (x, y, z) mid 0 <= x <= 1, 0 <= y <= x, x <= z <= 2x sobre a região , onde:
Para resolver isso, vamos utilizar os conceitos de integrais triplas em coordenadas cartesianas, definindo os limites de integração para cada variável , e .

Passo 2

Primeiro, identificamos os limites de integração para cada variável com base na descrição da região :
  • varia de a .
  • Para cada , varia de a .
  • Para cada , varia de a .

Passo 3

Escrevemos a integral tripla com os limites identificados:
integral triplaE y z cos (x^5) dV = integral0^1 integral0^x integralx^2x y z cos(x^5) , dz , dy , dx

Passo 4

Vamos começar integrando em relação a integralx^2x y z cos(x^5) , dz = y cos(x^5) integralx^2x z , dz . A função a ser integrada é . Como e são constantes em relação a , a integral fica:

Passo 5

Calculando a integral de integralx^2x z , dz = [ z^22 ]x^2x = (2x)^22 - x^22 = 4x^22 - x^22 = 3x^22 em relação a integralx^2x y z cos(x^5) , dz = y cos(x^5) cdot 3x^22 = 32 y x^2 cos(x^5) :
Portanto:

Passo 6

Agora, a integral tripla fica:
integral0^1 integral0^x 32 y x^2 cos(x^5) , dy , dx
Vamos integrar em relação a 32 x^2 cos(x^5) integral0^x y , dy = 32 x^2 cos(x^5) [ y^22 ]0^x = 32 x^2 cos(x^5) cdot x^22 = 34 x^4 cos(x^5) :

Passo 7

A integral agora simplifica para:
integral0^1 34 x^4 cos(x^5) , dx

Passo 8

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Seja , então ou .

Passo 9

Substituindo na integral:
34 integral0^1 x^4 cos(x^5) , dx = 34 cdot 15 integral0^1 cos(u) , du = 320 [ sin(u) ]0^1 = 320 (sin(1) - sin(0)) = 320 sin(1)

Resposta

O valor da integral tripla é .

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