Calcule a integral iterada integral0^pi / 2 integral0^pi / 2 integral0^1 rho^3 sin phi cos phi d rho d phi d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla: integral0^pi / 2 integral0^pi / 2 integral0^1 rho^3 sin phi cos phi , drho , dphi , dtheta. Essa é uma integral iterada que envolve três variáveis: rho, phi e theta. A gente vai precisar integrar passo a passo, começando por uma variável de cada vez. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a rho. A expressão que vamos integrar é rho^3 de 0 a 1. A integral de rho^3 em relação a rho é:
integral0^1 rho^3 , drho = [ rho^44 ]0^1 = 1^44 - 0^44 = 14
Então, após integrar rho, a expressão fica 14 sin phi cos phi.

Passo 3

Agora, vamos integrar em relação a phi. A expressão é 14 sin phi cos phi de 0 a pi/2. Para integrar sin phi cos phi, podemos usar uma substituição simples:
u = sin phi Rightarrow du = cos phi , dphi
Então, a integral fica:
14 integral0^pi/2 sin phi cos phi , dphi = 14 integral0^1 u , du = 14 [ u^22 ]0^1 = 14 ( 12 - 0 ) = 18

Passo 4

Por fim, vamos integrar em relação a theta. A expressão é 18 de 0 a pi/2. Isso é bem direto:
18 integral0^pi/2 dtheta = 18 [ theta ]0^pi/2 = 18 ( pi2 - 0 ) = pi16

Resposta

O valor da integral é dfracpi16.

Exercícios relacionados