Use coordenadas cilíndricas ou esféricas para calcular a integral

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla usando coordenadas cilíndricas! O enunciado pede para calcular a integral
Vamos precisar transformar essas coordenadas cartesianas para cilíndricas , onde , e . Isso vai simplificar os limites de integração e facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração em coordenadas cartesianas:
  • varia de 0 a 2.
  • Para cada , varia de 0 a , o que descreve um semicírculo de raio 2 no primeiro quadrante.
  • Para cada , varia de a .
Em coordenadas cilíndricas, isso se traduz em:
  • variando de 0 a 2.
  • variando de 0 a (já que estamos no primeiro quadrante).
  • variando de a .

Passo 3

Agora, vamos escrever a integral em coordenadas cilíndricas. Lembrando que o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é , e a função permanece a mesma. Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos integrar primeiro em relação a . A integral de em relação a é:
Simplificando:

Passo 5

Agora, substituímos essa expressão de volta na integral e multiplicamos pelo :
Podemos separar isso em duas integrais:

Passo 6

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Primeiro, a integral . Fazendo a substituição , , então:
Avaliado de 0 a 2:
Agora, a segunda integral .

Passo 7

Substituindo de volta:
Agora, integramos em relação a :

Resposta

O valor da integral tripla é aproximadamente .

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