Use coordenadas cilíndricas ou esféricas para calcular a integral
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla usando coordenadas cilíndricas! O enunciado pede para calcular a integral
Vamos precisar transformar essas coordenadas cartesianas
para cilíndricas
, onde
,
e
. Isso vai simplificar os limites de integração e facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração em coordenadas cartesianas:
-
varia de 0 a 2. - Para cada
, varia de 0 a , o que descreve um semicírculo de raio 2 no primeiro quadrante. - Para cada
, varia de a .
Em coordenadas cilíndricas, isso se traduz em:
-
variando de 0 a 2. -
variando de 0 a (já que estamos no primeiro quadrante). -
variando de a .
Passo 3
Agora, vamos escrever a integral em coordenadas cilíndricas. Lembrando que o elemento de volume
em coordenadas cilíndricas é
, e a função
permanece a mesma. Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos integrar primeiro em relação a
. A integral de
em relação a
é:
Simplificando:
Passo 5
Agora, substituímos essa expressão de volta na integral e multiplicamos pelo
:
Podemos separar isso em duas integrais:
Passo 6
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Primeiro, a integral
. Fazendo a substituição
,
, então:
Avaliado de 0 a 2:
Agora, a segunda integral
.
Passo 7
Substituindo de volta:
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
O valor da integral tripla é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral iterada
Considere que
seja a região do primeiro quadrante delimitada pelas curvas
e
. Calcule as seguintes quantidades:
A área de .
A área de
Calcule a integral iterada
Se
é contínua em
e
é convergente então
é convergente. A afirmação é verdadeira ou falsa? Justifique.