Use coordenadas cilíndricas ou esféricas para calcular a integral
integral0^2 integral0^raiz4-y^2 integralraizx^2+y^2^raiz8-x^2-y^2 z^2 d z d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla usando coordenadas cilíndricas! O enunciado pede para calcular a integral
integral0^2 integral0^raiz4-y^2 integralraizx^2+y^2^raiz8-x^2-y^2 z^2 , dz , dx , dy
Vamos precisar transformar essas coordenadas cartesianas para cilíndricas , onde , e . Isso vai simplificar os limites de integração e facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração em coordenadas cartesianas:
  • varia de 0 a 2.
  • Para cada , varia de 0 a , o que descreve um semicírculo de raio 2 no primeiro quadrante.
  • Para cada , varia de a .
Em coordenadas cilíndricas, isso se traduz em:
  • variando de 0 a 2.
  • variando de 0 a (já que estamos no primeiro quadrante).
  • variando de a .

Passo 3

Agora, vamos escrever a integral em coordenadas cilíndricas. Lembrando que o elemento de volume integral0^pi2 integral0^2 integralr^raiz8 - r^2 z^2 cdot r , dz , dr , dtheta em coordenadas cilíndricas é , e a função permanece a mesma. Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos integrar primeiro em relação a integralr^raiz8 - r^2 z^2 , dz = [ z^33 ]r^raiz8 - r^2 = (raiz8 - r^2)^33 - r^33 . A integral de (8 - r^2)^323 - r^33 em relação a é:
Simplificando:

Passo 5

Agora, substituímos essa expressão de volta na integral e multiplicamos pelo integral0^pi2 integral0^2 ( (8 - r^2)^323 - r^33 ) cdot r , dr , dtheta :
13 integral0^pi2 integral0^2 r (8 - r^2)^32 , dr , dtheta - 13 integral0^pi2 integral0^2 r^4 , dr , dtheta
Podemos separar isso em duas integrais:

Passo 6

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Primeiro, a integral integral r (8 - r^2)^32 , dr = -12 integral u^32 , du = -12 cdot 25 u^52 = -15 u^52 = -15 (8 - r^2)^52 . Fazendo a substituição -15 (8 - 4)^52 + 15 (8 - 0)^52 = -15 (4)^52 + 15 (8)^52 = -15 cdot 32 + 15 cdot 181.0193 approx -6.4 + 36.2038 = 29.8038 , , então:
Avaliado de 0 a 2:
Agora, a segunda integral .

Passo 7

Substituindo de volta:
13 cdot 29.8038 - 13 cdot 6.4 = 29.8038 - 6.43 approx 23.40383 approx 7.8
Agora, integramos em relação a integral0^pi2 7.8 , dtheta = 7.8 cdot pi2 approx 7.8 cdot 1.5708 approx 12.25 :

Resposta

O valor da integral tripla é aproximadamente .

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