Calcule a integral iterada
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos calcular uma integral tripla definida por:
Matéria envolvida: Cálculo Integral Multivariado, especificamente integrais iteradas em coordenadas cartesianas.
O que vamos precisar: Saber integrar funções de várias variáveis passo a passo, começando pela integração mais interna e avançando para as externas.
Passo 2
Vamos começar integrando em relação a
. A integral interna é:
Como estamos integrando
em relação a
, e
é tratado como uma constante durante essa integração, isso fica simples:
Aplicando isso ao nosso caso:
Então, a integral tripla agora reduz para uma integral dupla:
Passo 3
Agora, vamos integrar em relação a
. Vamos quebrar a integral em partes para facilitar:
Calculando cada parte:
- Primeira integral:
- Segunda integral:
- Terceira integral:
Juntando tudo:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão obtida:
Podemos fatorar
:
Simplificando dentro dos parênteses:
Então, a expressão fica:
Agora, a integral dupla foi reduzida a uma integral simples:
Passo 5
Vamos resolver a última integral em relação a
:
Fazendo uma substituição:
- Seja
- Então,
=>
Mudando os limites de integração:
- Quando
, - Quando
,
Substituindo na integral:
Integrando
:
Aplicando os limites:
Resposta
A integral tripla vale
.
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e
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