Calcule a integral iterada

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos calcular uma integral tripla definida por:
Matéria envolvida: Cálculo Integral Multivariado, especificamente integrais iteradas em coordenadas cartesianas.
O que vamos precisar: Saber integrar funções de várias variáveis passo a passo, começando pela integração mais interna e avançando para as externas.

Passo 2

Vamos começar integrando em relação a . A integral interna é:
Como estamos integrando em relação a , e é tratado como uma constante durante essa integração, isso fica simples:
Aplicando isso ao nosso caso:
Então, a integral tripla agora reduz para uma integral dupla:

Passo 3

Agora, vamos integrar em relação a . Vamos quebrar a integral em partes para facilitar:
Calculando cada parte:
  1. Primeira integral:
  1. Segunda integral:
  1. Terceira integral:
Juntando tudo:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão obtida:
Podemos fatorar :
Simplificando dentro dos parênteses:
Então, a expressão fica:
Agora, a integral dupla foi reduzida a uma integral simples:

Passo 5

Vamos resolver a última integral em relação a :
Fazendo uma substituição:
  • Seja
  • Então, =>
Mudando os limites de integração:
  • Quando ,
  • Quando ,
Substituindo na integral:
Integrando :
Aplicando os limites:

Resposta

A integral tripla vale .

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