Calcule a integral iterada
integral0^2 integral0^raiz4-x^2 integral-5+x^2+y^2^3-x^2-y^2 x d z d y d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos calcular uma integral tripla definida por:
integral0^2 integral0^raiz4-x^2 integral-5+x^2+y^2^3-x^2-y^2 x , dz , dy , dx
Matéria envolvida: Cálculo Integral Multivariado, especificamente integrais iteradas em coordenadas cartesianas.
O que vamos precisar: Saber integrar funções de várias variáveis passo a passo, começando pela integração mais interna e avançando para as externas.

Passo 2

Vamos começar integrando em relação a integral-5+x^2+y^2^3-x^2-y^2 x , dz . A integral interna é:
integrala^b x , dz = x cdot (b - a)
Como estamos integrando x cdot (3 - x^2 - y^2 - (-5 + x^2 + y^2)) = x cdot (8 - 2x^2 - 2y^2) em relação a integral0^2 integral0^raiz4-x^2 x (8 - 2x^2 - 2y^2) , dy , dx , e é tratado como uma constante durante essa integração, isso fica simples:
Aplicando isso ao nosso caso:
Então, a integral tripla agora reduz para uma integral dupla:

Passo 3

Agora, vamos integrar em relação a integral0^raiz4-x^2 x (8 - 2x^2 - 2y^2) , dy = 8x integral0^raiz4-x^2 dy - 2x^3 integral0^raiz4-x^2 dy - 2x integral0^raiz4-x^2 y^2 , dy . Vamos quebrar a integral em partes para facilitar:
8x integral0^raiz4-x^2 dy = 8x cdot raiz4 - x^2
Calculando cada parte:
  1. Primeira integral:
-2x^3 integral0^raiz4-x^2 dy = -2x^3 cdot raiz4 - x^2
  1. Segunda integral:
-2x integral0^raiz4-x^2 y^2 , dy = -2x cdot [y^33]0^raiz4 - x^2 = -2x3 (4 - x^2)^3/2
  1. Terceira integral:
8x raiz4 - x^2 - 2x^3 raiz4 - x^2 - 2x3 (4 - x^2)^3/2
Juntando tudo:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão obtida:
8x raiz4 - x^2 - 2x^3 raiz4 - x^2 - 2x3 (4 - x^2)^3/2
Podemos fatorar x raiz4 - x^2 (8 - 2x^2 - 23(4 - x^2)) :
8 - 2x^2 - 83 + 2x^23 = 163 - 4x^23
Simplificando dentro dos parênteses:
x raiz4 - x^2 cdot (163 - 4x^23) = 4x (4 - x^2)^3/23
Então, a expressão fica:
integral0^2 4x (4 - x^2)^3/23 , dx
Agora, a integral dupla foi reduzida a uma integral simples:

Passo 5

Vamos resolver a última integral em relação a 43 integral0^2 x (4 - x^2)^3/2 , dx :
43 cdot (-12) integral4^0 u^3/2 , du = 43 cdot 12 integral0^4 u^3/2 , du = 23 integral0^4 u^3/2 , du
Fazendo uma substituição:
  • Seja integral u^3/2 , du = 25 u^5/2
  • Então, 23 cdot 25 [4^5/2 - 0] = 415 cdot 32 = 12815 =>
Mudando os limites de integração:
  • Quando ,
  • Quando ,
Substituindo na integral:
Integrando :
Aplicando os limites:

Resposta

A integral tripla vale .

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