Calcule a integral iterada. integral0^pi / 4 integral0^1 integral0^x^2 x cos (y) d z d x d y

Passo 1

Vamos lá, amigo! A gente tem que calcular uma integral iterada que está escrita assim:
integral0^pi / 4 integral0^1 integral0^x^2 x cos (y) , dz , dx , dy
Esse tipo de integral é chamado de integral iterada, onde a gente integra uma função em várias variáveis, uma de cada vez, seguindo a ordem dos limites de integração. Aqui, vamos precisar usar conhecimentos de cálculo integral e entender como aplicar integrais múltiplas.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a integral0^x^2 x cos(y) , dz . Olha só a parte da integral que envolve :
Como não depende de , a gente trata isso como uma constante em relação a .

Passo 3

Integrando em relação a integral0^x^2 x cos(y) , dz = x cos(y) cdot z |0^x^2 = x cos(y) cdot x^2 - x cos(y) cdot 0 = x^3 cos(y) , temos:
integral0^pi / 4 integral0^1 x^3 cos(y) , dx , dy
Então, após a primeira integração, a nossa integral fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a integral0^1 x^3 cos(y) , dx :
cos(y) cdot integral0^1 x^3 , dx = cos(y) cdot [ x^44 ]0^1 = cos(y) cdot ( 14 - 0 ) = 14 cos(y)
Aqui, integral0^pi / 4 14 cos(y) , dy não depende de , então podemos tratá-la como uma constante:
Agora, nossa integral ficou assim:

Passo 5

Por último, vamos integrar em relação a 14 integral0^pi / 4 cos(y) , dy :
14 [ sin(y) ]0^pi / 4 = 14 ( sin( pi4 ) - sin(0) )
A integral de 14 ( raiz22 - 0 ) = raiz28 é , então:
Sabemos que e , então:

Resposta

A integral iterada vale .

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