Use coordenadas esféricas para encontrar o volume do sólido. O sólido no interior do cone varphi = pi / 4 e entre as esferas rho = 1 e rho = 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular o volume de um sólido que tá dentro de um cone com φ = π/4 e entre duas esferas de raio 1 e 2. A gente vai usar coordenadas esféricas pra resolver isso, então vamos precisar lembrar como configurar esses limites de integração e como montar a integral tripla.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas esféricas. Qualquer ponto nesse sistema é definido por (ρ, θ, φ), onde:
  • ρ é a distância do ponto até a origem,
  • θ é o ângulo no plano xy a partir do eixo x,
  • φ é o ângulo entre o eixo z e a linha que vai da origem até o ponto.
O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por .

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração:
  • Para ρ, estamos entre as esferas de raio 1 e 2, então .
  • Para φ, o sólido está dentro do cone φ = π/4, então .
  • Para θ, não tem restrição específica, então vamos de 0 a 2π.

Passo 4

Com os limites definidos, montamos a integral tripla para o volume V:

Passo 5

Vamos resolver a integral mais interna, que é em relação a ρ:

Passo 6

Substituímos esse resultado na integral:

Passo 7

Agora, integramos em relação a φ:

Passo 8

Substituímos novamente na integral:

Passo 9

Integramos em relação a θ:

Passo 10

Finalmente, multiplicamos os resultados para achar o volume:

Resposta

O volume do sólido é .

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