Use coordenadas esféricas para encontrar o volume do sólido. O sólido no interior do cone
e entre as esferas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular o volume de um sólido que tá dentro de um cone com φ = π/4 e entre duas esferas de raio 1 e 2. A gente vai usar coordenadas esféricas pra resolver isso, então vamos precisar lembrar como configurar esses limites de integração e como montar a integral tripla.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas esféricas. Qualquer ponto nesse sistema é definido por (ρ, θ, φ), onde:
- ρ é a distância do ponto até a origem,
- θ é o ângulo no plano xy a partir do eixo x,
- φ é o ângulo entre o eixo z e a linha que vai da origem até o ponto.
O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por
.
Passo 3
Agora, vamos definir os limites de integração:
- Para ρ, estamos entre as esferas de raio 1 e 2, então
. - Para φ, o sólido está dentro do cone φ = π/4, então
. - Para θ, não tem restrição específica, então vamos de 0 a 2π.
Passo 4
Com os limites definidos, montamos a integral tripla para o volume V:
Passo 5
Vamos resolver a integral mais interna, que é em relação a ρ:
Passo 6
Substituímos esse resultado na integral:
Passo 7
Agora, integramos em relação a φ:
Passo 8
Substituímos novamente na integral:
Passo 9
Integramos em relação a θ:
Passo 10
Finalmente, multiplicamos os resultados para achar o volume:
Resposta
O volume do sólido é
.