Use coordenadas cilíndricas para encontrar o volume do sólido. O sólido que está dentro da superfície
e abaixo da superfície
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo usando coordenadas cilíndricas para encontrar o volume de um sólido. O sólido está dentro da superfície
e abaixo da superfície
. Vamos precisar lembrar como funcionam as coordenadas cilíndricas e como configurar uma integral tripla para calcular esse volume. Bora resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender as superfícies que delimitam o sólido. A equação
representa uma esfera com raio
. Já
é uma parábola que abre para cima. Nosso objetivo é encontrar a região que está dentro da esfera e abaixo dessa parábola.
Passo 3
Em coordenadas cilíndricas, o volume
pode ser calculado pela integral tripla:
Aqui,
é o raio,
o ângulo, e
a altura. Precisamos determinar os limites de integração para cada uma dessas variáveis.
Passo 4
Vamos encontrar
, o valor máximo de
onde as duas superfícies se intersectam. Para isso, igualamos as duas equações:
Substituindo
na primeira equação:
Resolvendo essa equação para
:
Descartando a solução negativa, temos:
Então,
varia de 0 a 2.
Passo 5
Agora, determinamos os limites de
. Para cada valor de
entre 0 e 2,
vai de
(inferior) até a superfície da esfera
(superior).
Passo 6
Com todos os limites definidos, nossa integral para o volume fica assim:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 7
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 8
Agora, a integral se torna:
Podemos separar essa integral em duas partes:
Passo 9
Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
Fazemos substituição
, então
, ou
. Os limites de
vão de 20 a 16. Assim:
Calculando:
Segunda integral:
Passo 10
Voltando à expressão original:
Resposta
O volume do sólido é aproximadamente
unidades cúbicas.