Use coordenadas cilíndricas para encontrar o volume do sólido. O sólido que está dentro da superfície r^2 + z^2 = 20 e abaixo da superfície z = r^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo usando coordenadas cilíndricas para encontrar o volume de um sólido. O sólido está dentro da superfície e abaixo da superfície . Vamos precisar lembrar como funcionam as coordenadas cilíndricas e como configurar uma integral tripla para calcular esse volume. Bora resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender as superfícies que delimitam o sólido. A equação representa uma esfera com raio . Já é uma parábola que abre para cima. Nosso objetivo é encontrar a região que está dentro da esfera e abaixo dessa parábola.

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas, o volume pode ser calculado pela integral tripla:
Aqui, é o raio, o ângulo, e a altura. Precisamos determinar os limites de integração para cada uma dessas variáveis.

Passo 4

Vamos encontrar , o valor máximo de onde as duas superfícies se intersectam. Para isso, igualamos as duas equações:
Substituindo na primeira equação:
Resolvendo essa equação para :
Descartando a solução negativa, temos:
Então, varia de 0 a 2.

Passo 5

Agora, determinamos os limites de . Para cada valor de entre 0 e 2, vai de (inferior) até a superfície da esfera (superior).

Passo 6

Com todos os limites definidos, nossa integral para o volume fica assim:
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 7

Primeiro, integramos em relação a :

Passo 8

Agora, a integral se torna:
Podemos separar essa integral em duas partes:

Passo 9

Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
Fazemos substituição , então , ou . Os limites de vão de 20 a 16. Assim:
Calculando:
Segunda integral:

Passo 10

Voltando à expressão original:

Resposta

O volume do sólido é aproximadamente unidades cúbicas.

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