Use coordenadas cilíndricas para encontrar o volume do sólido. O sólido que está dentro da superfície
e abaixo da superfície
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo usando coordenadas cilíndricas para encontrar o volume de um sólido. O sólido está dentro da superfície
e abaixo da superfície
. Vamos precisar lembrar como funcionam as coordenadas cilíndricas e como configurar uma integral tripla para calcular esse volume. Bora resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender as superfícies que delimitam o sólido. A equação
representa uma esfera com raio
. Já
é uma parábola que abre para cima. Nosso objetivo é encontrar a região que está dentro da esfera e abaixo dessa parábola.
Passo 3
Em coordenadas cilíndricas, o volume
pode ser calculado pela integral tripla:
Aqui,
é o raio,
o ângulo, e
a altura. Precisamos determinar os limites de integração para cada uma dessas variáveis.
Passo 4
Vamos encontrar
, o valor máximo de
onde as duas superfícies se intersectam. Para isso, igualamos as duas equações:
Substituindo
na primeira equação:
Resolvendo essa equação para
:
Descartando a solução negativa, temos:
Então,
varia de 0 a 2.
Passo 5
Agora, determinamos os limites de
. Para cada valor de
entre 0 e 2,
vai de
(inferior) até a superfície da esfera
(superior).
Passo 6
Com todos os limites definidos, nossa integral para o volume fica assim:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 7
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 8
Agora, a integral se torna:
Podemos separar essa integral em duas partes:
Passo 9
Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
Fazemos substituição
, então
, ou
. Os limites de
vão de 20 a 16. Assim:
Calculando:
Segunda integral:
Passo 10
Voltando à expressão original:
Resposta
O volume do sólido é aproximadamente
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Calcule a integral tripla.
, onde
é o sólido compreendido pelo plano
, o plano
e o cilindro parabólico
.
Calcule a integral iterada.
Calcule a integral iterada.
<html><head></head><body><div>Use coordenadas esféricas para encontrar o volume do sólido. O sólido no interior do cone <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“8.049ex” height=“2.262ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -750 3557.6 1000”><title>varphi = pi / 4</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D711” d=“M92 210Q92 176 106 149T142 108T185 85T220 72L235 70L237 71L250 112Q268 170 283 211T322 299T370 375T429 423T502 442Q547 442 582 410T618 302Q618 224 575 152T457 35T299 -10Q273 -10 273 -12L266 -48Q260 -83 252 -125T241 -179Q236 -203 215 -212Q204 -218 190 -218Q159 -215 159 -185Q159 -175 214 -2L209 0Q204 2 195 5T173 14T147 28T120 46T94 71T71 103T56 142T50 190Q50 238 76 311T149 431H162Q183 431 183 423Q183 417 175 409Q134 361 114 300T92 210ZM574 278Q574 320 550 344T486 369Q437 369 394 329T323 218Q309 184 295 109L286 64Q304 62 306 62Q423 62 498 131T574 278Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(931.8,0)”><path data-c=“3D” d=“M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(1987.6,0)”><path data-c=“1D70B” d=“M132 -11Q98 -11 98 22V33L111 61Q186 219 220 334L228 358H196Q158 358 142 355T103 336Q92 329 81 318T62 297T53 285Q51 284 38 284Q19 284 19 294Q19 300 38 329T93 391T164 429Q171 431 389 431Q549 431 553 430Q573 423 573 402Q573 371 541 360Q535 358 472 358H408L405 341Q393 269 393 222Q393 170 402 129T421 65T431 37Q431 20 417 5T381 -10Q370 -10 363 -7T347 17T331 77Q330 86 330 121Q330 170 339 226T357 318T367 358H269L268 354Q268 351 249 275T206 114T175 17Q164 -11 132 -11Z”></path></g><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD” transform=“translate(2557.6,0)”><g data-mml-node=“mo”><path data-c=“2F” d=“M423 750Q432 750 438 744T444 730Q444 725 271 248T92 -240Q85 -250 75 -250Q68 -250 62 -245T56 -231Q56 -221 230 257T407 740Q411 750 423 750Z”></path></g></g><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(3057.6,0)”><path data-c=“34” d=“M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> e entre as esferas <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.489ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“5.318ex” height=“1.995ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -666 2350.6 882”><title>rho = 1</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D70C” d=“M58 -216Q25 -216 23 -186Q23 -176 73 26T127 234Q143 289 182 341Q252 427 341 441Q343 441 349 441T359 442Q432 442 471 394T510 276Q510 219 486 165T425 74T345 13T266 -10H255H248Q197 -10 165 35L160 41L133 -71Q108 -168 104 -181T92 -202Q76 -216 58 -216ZM424 322Q424 359 407 382T357 405Q322 405 287 376T231 300Q217 269 193 170L176 102Q193 26 260 26Q298 26 334 62Q367 92 389 158T418 266T424 322Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(794.8,0)”><path data-c=“3D” d=“M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z”></path></g><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(1850.6,0)”><path data-c=“31” d=“M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> e <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.489ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“5.318ex” height=“1.995ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -666 2350.6 882”><title>rho = 2</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D70C” d=“M58 -216Q25 -216 23 -186Q23 -176 73 26T127 234Q143 289 182 341Q252 427 341 441Q343 441 349 441T359 442Q432 442 471 394T510 276Q510 219 486 165T425 74T345 13T266 -10H255H248Q197 -10 165 35L160 41L133 -71Q108 -168 104 -181T92 -202Q76 -216 58 -216ZM424 322Q424 359 407 382T357 405Q322 405 287 376T231 300Q217 269 193 170L176 102Q193 26 260 26Q298 26 334 62Q367 92 389 158T418 266T424 322Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(794.8,0)”><path data-c=“3D” d=“M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z”></path></g><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(1850.6,0)”><path data-c=“32” d=“M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>.</div>
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