,
o retângulo com vértices
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha: . A curva
é o contorno de um retângulo com vértices em
,
,
e
. Vamos usar o Teorema de Green, que transforma essa integral de linha em uma integral dupla sobre a área do retângulo. Para isso, precisamos identificar as funções
e
na integral e calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 2
Primeiro, identificamos
e
na integral:
O Teorema de Green nos diz que:
onde
é a região delimitada por
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Agora, substituímos na expressão do Teorema de Green:
Passo 4
Agora, configuramos a integral dupla sobre o retângulo
com
variando de 0 a 5 e
de 0 a 2:
Vamos resolver a integral interna em relação a
primeiro.
Passo 5
Integramos em relação a
:
Passo 6
Agora, integramos o resultado em relação a
:
Resposta
A integral vale
.