integralC cos y d x+x^2 sen y d y, C in e o retângulo com vértices (0,0),(5,0),(5,2) e (0,2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha: . A curva é o contorno de um retângulo com vértices em , , e . Vamos usar o Teorema de Green, que transforma essa integral de linha em uma integral dupla sobre a área do retângulo. Para isso, precisamos identificar as funções e na integral e calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 2

Primeiro, identificamos P(x, y) = cos y e Q(x, y) = x^2 sen y e ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA na integral:
O Teorema de Green nos diz que:
onde é a região delimitada por .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
Agora, substituímos na expressão do Teorema de Green:

Passo 4

Agora, configuramos a integral dupla sobre o retângulo integral duplaD sen y (2x + 1) , dA = integral0^5 integral0^2 sen y (2x + 1) , dy , dx com variando de 0 a 5 e de 0 a 2:
Vamos resolver a integral interna em relação a primeiro.

Passo 5

Integramos em relação a integral0^2 sen y (2x + 1) , dy = (2x + 1) integral0^2 sen y , dy = (2x + 1) [-cos y]0^2 = (2x + 1) [ -cos 2 + cos 0 ] = (2x + 1) (1 - cos 2) :

Passo 6

Agora, integramos o resultado em relação a integral0^5 (2x + 1)(1 - cos 2) , dx = (1 - cos 2) integral0^5 (2x + 1) , dx = (1 - cos 2) [ x^2 + x ]0^5 = (1 - cos 2) (25 + 5) = 30 (1 - cos 2) :

Resposta

A integral vale .

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