Calcule a integral iterada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver aqui é uma integral iterada. Isso faz parte do cálculo integral, onde a gente integra várias vezes sobre diferentes variáveis. No caso, temos a integral:
Para resolver isso, vamos integrar passo a passo, começando pela variável mais interna, que aqui é . A gente vai precisar entender como integrar funções em várias dimensões e seguir os limites de integração corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a . Olha só, a função que vamos integrar é , e ela não depende de . Então, integrar em relação a de 0 até é como multiplicar pelo intervalo de :

Passo 3

Agora, nossa integral ficou mais simples, e vamos pro próximo passo: integrar a expressão resultante em relação a . Então, temos:
Vamos expandir a expressão :
Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos agora integrar cada termo separadamente:
  1. Para :
  1. Para :
Agora, somamos as duas integrais:
E aplicamos os limites de integração de 0 a :

Passo 5

Agora, restou só integrar o resultado anterior em relação a :
Vamos resolver essa integral:
Aplicamos os limites de 0 a 1:

Resposta

A integral iterada vale .

Exercícios relacionados

Calcule a integral iterada.
Determine uma função tal que .

Resolução

é harmônica. Agora, suponha que existe tal que seja holomorfa em todo . Assim, pelas condições de Cauchy-Riemann,
Portanto,

  1. Essa condição é equivalente às condições de Cauchy-Riemann, isto é, (2.2) da página 8.
    Uma função é harmônica quando o seu operador laplaciano é nulo, ou seja, , conforme definido em (2.31). Demonstra-se que, se uma função é holomorfa, então ela é harmônica, pelas condições de CauchyRiemann supracitadas. ↩︎
Calcule a integral iterada.
Seja a região no octante delimitada abaixo pelo cone e acima pela esfera . Expresse o volume de D como uma integral tripla em: Coordenadas cilindricas