Calcule a integral iterada. integral0^1 integral0^2 y integral0^x+y 6 x y d z d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver aqui é uma integral iterada. Isso faz parte do cálculo integral, onde a gente integra várias vezes sobre diferentes variáveis. No caso, temos a integral:
integral0^1 integral0^2 y integral0^x+y 6 x y , dz , dx , dy
Para resolver isso, vamos integrar passo a passo, começando pela variável mais interna, que aqui é . A gente vai precisar entender como integrar funções em várias dimensões e seguir os limites de integração corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a integral0^x+y 6xy , dz = 6xy cdot (x + y - 0) = 6xy(x + y) . Olha só, a função que vamos integrar é , e ela não depende de . Então, integrar em relação a de 0 até é como multiplicar pelo intervalo de :

Passo 3

Agora, nossa integral ficou mais simples, e vamos pro próximo passo: integrar a expressão resultante em relação a integral0^2y 6xy(x + y) , dx . Então, temos:
6xy(x + y) = 6xy cdot x + 6xy cdot y = 6x^2y + 6xy^2
Vamos expandir a expressão integral0^2y (6x^2y + 6xy^2) , dx :
Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos agora integrar cada termo separadamente:
  1. Para integral 6x^2y , dx = 6y cdot x^33 = 2y x^3 :
integral 6xy^2 , dx = 6y^2 cdot x^22 = 3y^2 x^2
  1. Para 2y x^3 + 3y^2 x^2 :
2y (2y)^3 + 3y^2 (2y)^2 - [2y (0)^3 + 3y^2 (0)^2] = 2y cdot 8y^3 + 3y^2 cdot 4y^2 = 16y^4 + 12y^4 = 28y^4
Agora, somamos as duas integrais:
E aplicamos os limites de integração de 0 a :

Passo 5

Agora, restou só integrar o resultado anterior em relação a integral0^1 28y^4 , dy :
28 integral y^4 , dy = 28 cdot y^55 = 285 y^5
Vamos resolver essa integral:
285 (1)^5 - 285 (0)^5 = 285 - 0 = 285
Aplicamos os limites de 0 a 1:

Resposta

A integral iterada vale .

Exercícios relacionados