Calcule a integral iterada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver aqui é uma integral iterada. Isso faz parte do cálculo integral, onde a gente integra várias vezes sobre diferentes variáveis. No caso, temos a integral:
Para resolver isso, vamos integrar passo a passo, começando pela variável mais interna, que aqui é
. A gente vai precisar entender como integrar funções em várias dimensões e seguir os limites de integração corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar em relação a
. Olha só, a função que vamos integrar é
, e ela não depende de
. Então, integrar
em relação a
de 0 até
é como multiplicar
pelo intervalo de
:
Passo 3
Agora, nossa integral ficou mais simples, e vamos pro próximo passo: integrar a expressão resultante em relação a
. Então, temos:
Vamos expandir a expressão
:
Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos agora integrar cada termo separadamente:
- Para
:
- Para
:
Agora, somamos as duas integrais:
E aplicamos os limites de integração de 0 a
:
Passo 5
Agora, restou só integrar o resultado anterior em relação a
:
Vamos resolver essa integral:
Aplicamos os limites de 0 a 1:
Resposta
A integral iterada vale
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral iterada.
Determine uma função
tal que
.
Resolução
Portanto,
Essa condição é equivalente às condições de Cauchy-Riemann, isto é, (2.2) da página 8.
Uma função é harmônica quando o seu operador laplaciano é nulo, ou seja, , conforme definido em (2.31). Demonstra-se que, se uma função é holomorfa, então ela é harmônica, pelas condições de CauchyRiemann supracitadas. ↩︎
Calcule a integral iterada.
Seja
a região no
octante delimitada abaixo pelo cone
e acima pela esfera
. Expresse o volume de D como uma integral tripla em: Coordenadas cilindricas