Calcule a integral iterada. integral1^3 integral-1^2 integral-y^z zy d x d z d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular . Aqui, estamos lidando com integrais iteradas em três dimensões. Para resolver, vamos integrar primeiro em relação a , depois em e por último em . Vamos precisar conhecer as propriedades das integrais múltiplas e como integrar funções constantes em relação a uma variável específica.

Passo 2

Vamos começar integrando a função integral-y^z zy , dx = zy times (z - (-y)) = zy times (z + y) em relação a , mantendo e constantes. A integral de uma função constante em relação a de a é simplesmente . Então:

Passo 3

Agora, substituímos essa expressão de volta na integral dupla restante:
integral1^3 integral-1^2 zy (z + y) , dz , dy
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
zy (z + y) = z^2y + z
Então, a integral fica:
integral1^3 integral-1^2 ( z^2y + z ) , dz , dy

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a integral-1^2 z^2y , dz = 1y integral-1^2 z^2 , dz = 1y [ z^33 ]-1^2 = 1y ( 83 - ( (-1)^33 ) ) = 1y ( 83 + 13 ) = 93y = 3y . Primeiro, integramos integral-1^2 z , dz = [ z^22 ]-1^2 = 42 - 12 = 32 e depois 3y + 32 :
Então, a integral em fica:

Passo 5

Agora, substituímos essa expressão na integral restante em relação a integral1^3 ( 3y + 32 ) , dy = 3 integral1^3 1y , dy + 32 integral1^3 1 , dy :
3 integral1^3 1y , dy = 3 [ ln|y| ]1^3 = 3 (ln 3 - ln 1) = 3 ln 3
Vamos integrar cada termo separadamente:
32 integral1^3 1 , dy = 32 (3 - 1) = 32 times 2 = 3

Resposta

Somando os resultados, a integral vale:
3 ln 3 + 3

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