Calcule a integral iterada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular
. Aqui, estamos lidando com integrais iteradas em três dimensões. Para resolver, vamos integrar primeiro em relação a
, depois em
e por último em
. Vamos precisar conhecer as propriedades das integrais múltiplas e como integrar funções constantes em relação a uma variável específica.
Passo 2
Vamos começar integrando a função
em relação a
, mantendo
e
constantes. A integral de uma função constante
em relação a
de
a
é simplesmente
. Então:
Passo 3
Agora, substituímos essa expressão de volta na integral dupla restante:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos integrar em relação a
. Primeiro, integramos
e depois
:
Então, a integral em
fica:
Passo 5
Agora, substituímos essa expressão na integral restante em relação a
:
Vamos integrar cada termo separadamente:
Resposta
Somando os resultados, a integral vale:
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Determine uma função
tal que
.
Resolução
Portanto,
Essa condição é equivalente às condições de Cauchy-Riemann, isto é, (2.2) da página 8.
Uma função é harmônica quando o seu operador laplaciano é nulo, ou seja, , conforme definido em (2.31). Demonstra-se que, se uma função é holomorfa, então ela é harmônica, pelas condições de CauchyRiemann supracitadas. ↩︎
Demonstre que
onde
é o operador laplaciano.
Calcule a integral iterada.
Calcule a integral iterada.