Calcule a integral iterada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular . Aqui, estamos lidando com integrais iteradas em três dimensões. Para resolver, vamos integrar primeiro em relação a , depois em e por último em . Vamos precisar conhecer as propriedades das integrais múltiplas e como integrar funções constantes em relação a uma variável específica.

Passo 2

Vamos começar integrando a função em relação a , mantendo e constantes. A integral de uma função constante em relação a de a é simplesmente . Então:

Passo 3

Agora, substituímos essa expressão de volta na integral dupla restante:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a . Primeiro, integramos e depois :
Então, a integral em fica:

Passo 5

Agora, substituímos essa expressão na integral restante em relação a :
Vamos integrar cada termo separadamente:

Resposta

Somando os resultados, a integral vale:

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Determine uma função tal que .

Resolução

é harmônica. Agora, suponha que existe tal que seja holomorfa em todo . Assim, pelas condições de Cauchy-Riemann,
Portanto,

  1. Essa condição é equivalente às condições de Cauchy-Riemann, isto é, (2.2) da página 8.
    Uma função é harmônica quando o seu operador laplaciano é nulo, ou seja, , conforme definido em (2.31). Demonstra-se que, se uma função é holomorfa, então ela é harmônica, pelas condições de CauchyRiemann supracitadas. ↩︎
Demonstre que
onde
é o operador laplaciano.
Calcule a integral iterada.
Calcule a integral iterada.