Calcule a integral iterada.
integral0^pi2 integral0^sin theta r cos theta d r d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral iterada juntos! O enunciado pede para calcular a integral dupla:
integral0^pi2 integral0^sin theta r cos theta , dr , dtheta
Aqui, estamos lidando com integrais iteradas, que são usadas para calcular áreas, volumes e outras quantidades em coordenadas polares. Vamos precisar integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é em relação a integral0^sin theta r cos theta , dr :
cos theta integral0^sin theta r , dr
Como é constante em relação a , podemos tirá-la de fora da integral:

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral de integral r , dr = r^22 em relação a (sin theta)^22 - 0^22 = sin^2 theta2 :
Aplicando os limites de integração de a :

Passo 4

Voltando à nossa expressão com cos theta cdot sin^2 theta2 = cos theta sin^2 theta2 :
integral0^pi2 cos theta sin^2 theta2 , dtheta
Então, a integral original fica:

Passo 5

Vamos simplificar um pouco tirando o fator 12 integral0^pi2 cos theta sin^2 theta , dtheta de fora da integral:

Passo 6

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Vamos deixar du = cos theta , dtheta , então a derivada de 12 integral0^1 u^2 , du em relação a é:
Isso simplifica nossa integral para:
(Observe que quando , , e quando , .)

Passo 7

Agora, resolvemos a integral de integral u^2 , du = u^33 em relação a 1^33 - 0^33 = 13 :
12 cdot 13 = 16
Aplicando os limites de integração de a :
Multiplicando pelo fator :

Resposta

O valor da integral é .

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