Calcule a integral iterada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral iterada juntos! O enunciado pede para calcular a integral dupla:
Aqui, estamos lidando com integrais iteradas, que são usadas para calcular áreas, volumes e outras quantidades em coordenadas polares. Vamos precisar integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral interna, que é em relação a
:
Como
é constante em relação a
, podemos tirá-la de fora da integral:
Passo 3
Agora, vamos resolver a integral de
em relação a
:
Aplicando os limites de integração de
a
:
Passo 4
Voltando à nossa expressão com
:
Então, a integral original fica:
Passo 5
Vamos simplificar um pouco tirando o fator
de fora da integral:
Passo 6
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Vamos deixar
, então a derivada de
em relação a
é:
Isso simplifica nossa integral para:
(Observe que quando
,
, e quando
,
.)
Passo 7
Agora, resolvemos a integral de
em relação a
:
Aplicando os limites de integração de
a
:
Multiplicando pelo fator
:
Resposta
O valor da integral é
.