Determinar a derivada das seguintes funções vetoriais: f(t) = sen(t) cos(t) i + e^(-2t) j

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a derivada da função vetorial . Estamos trabalhando com cálculo, especificamente com derivação de funções vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação para funções de múltiplas variáveis, além de saber como derivar funções trigonométricas e exponenciais.

Passo 2

Uma função vetorial é composta por várias funções escalares, cada uma nas direções dos vetores unitários. Para derivar f(t), vamos derivar cada uma dessas componentes separadamente.

Passo 3

Primeiro, vamos derivar a componente na direção de i, que é . Aqui temos um produto de duas funções de t: e . Para derivar esse produto, usamos a regra do produto.

Passo 4

A regra do produto diz que, se temos duas funções u(t) e v(t), a derivada de é . Aplicando isso aqui:
  • , então .
  • , então .

Passo 5

Substituindo na regra do produto:

Passo 6

Agora, vamos derivar a componente na direção de vec(j), que é e^(-2 t). A derivada de em relação a t é . Aqui, , então:

Resposta

A derivada da função vetorial é:

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