Vamos começar resumindo o enunciado do exercício. Temos que calcular uma integral iterada. O que isso significa? Bem, vamos integrar a função em três variáveis: , e . Nossas limitações de integração são que vai de 0 a , que vai de 0 a 3 e que vai de 0 a 1. Para resolver isso, precisamos entender como funcionam as integrais e como fazer a integração iterada.
Passo 2
Vamos começar a resolver a integral iterada. A primeira coisa que faremos é integrar em relação a . Escrevendo a integral, temos:
Primeiro, vamos focar na integral mais interna, que é a de . A função que estamos integrando em relação a é apenas , que não depende de . Portanto, ao integrar com relação a , a integral se torna:
Agora, substituindo as limitações:
= z e^y cdot raiz1-z^2 - z e^y cdot 0 = z e^y raiz1-z^2
Então, agora nossa integral se transforma em:
integral0^3 integral0^1 z e^y raiz1-z^2 , dz , dy
Passo 3
Agora vamos integrar em relação a z. A nova integral que precisamos resolver é:
integral0^3 integral0^1 z e^y raiz1-z^2 , dz , dy
Como z e e^y não se misturam, podemos separar essas partes. Assim, começamos agora a integral em relação a z:
Para fazer essa integral, vamos usar a substituição u = 1 - z^2, o que significa que du = -2z , dz. Portanto, quando z = 0, u = 1, e quando z = raiz1, u = 0. Assim, a integral se transforma:
= integral z raiz1-z^2 , dz = -12 integral raizu , du
Agora, podemos integrar raizu, que dá:
= -12 cdot 23 u^32 + C = -13 u^32
Voltando a z, isso se torna:
= -13 (1 - z^2)^32 g|0^1
Calculando isso entre 0 e 1, temos:
Quando z=1: -13 (1 - 1^2)^32 = 0
Quando z=0: -13 (1)^32 = -13
Então a integral em relação a z resulta em 13. Agora, substituímos na integral que envolve y:
integral0^1 e^y cdot 13 , dy
Passo 4
Agora estamos prontos para integrar em relação a y. Mantendo o 13 para fora, nossa integral agora se torna: