Calcule a integral iterada: integral0^3 integral0^1 integral0^raiz1-z^2 z e^y d x d z d y

Passo 1

Vamos começar resumindo o enunciado do exercício. Temos que calcular uma integral iterada. O que isso significa? Bem, vamos integrar a função z e^y em três variáveis: x, z e y. Nossas limitações de integração são x que vai de 0 a raiz1 - z^2, z que vai de 0 a 3 e y que vai de 0 a 1. Para resolver isso, precisamos entender como funcionam as integrais e como fazer a integração iterada.

Passo 2

Vamos começar a resolver a integral iterada. A primeira coisa que faremos é integrar em relação a x. Escrevendo a integral, temos:
integral0^3 integral0^1 integral0^raiz1-z^2 z e^y , dx , dz , dy
Primeiro, vamos focar na integral mais interna, que é a de x. A função que estamos integrando em relação a x é apenas z e^y, que não depende de x. Portanto, ao integrar com relação a x, a integral se torna:
integral0^raiz1-z^2 z e^y , dx = z e^y cdot x g|0^raiz1-z^2
Agora, substituindo as limitações:
= z e^y cdot raiz1-z^2 - z e^y cdot 0 = z e^y raiz1-z^2
Então, agora nossa integral se transforma em:
integral0^3 integral0^1 z e^y raiz1-z^2 , dz , dy

Passo 3

Agora vamos integrar em relação a z. A nova integral que precisamos resolver é:
integral0^3 integral0^1 z e^y raiz1-z^2 , dz , dy
Como z e e^y não se misturam, podemos separar essas partes. Assim, começamos agora a integral em relação a z:
Para fazer essa integral, vamos usar a substituição u = 1 - z^2, o que significa que du = -2z , dz. Portanto, quando z = 0, u = 1, e quando z = raiz1, u = 0. Assim, a integral se transforma:
= integral z raiz1-z^2 , dz = -12 integral raizu , du
Agora, podemos integrar raizu, que dá:
= -12 cdot 23 u^32 + C = -13 u^32
Voltando a z, isso se torna:
= -13 (1 - z^2)^32 g|0^1
Calculando isso entre 0 e 1, temos:
Quando z=1: -13 (1 - 1^2)^32 = 0
Quando z=0: -13 (1)^32 = -13
Então a integral em relação a z resulta em 13. Agora, substituímos na integral que envolve y:
integral0^1 e^y cdot 13 , dy

Passo 4

Agora estamos prontos para integrar em relação a y. Mantendo o 13 para fora, nossa integral agora se torna:
13 integral0^1 e^y , dy
A integral de e^y é simplesmente e^y, então:
= 13 (e^y) g|0^1 = 13 (e^1 - e^0) = 13 (e - 1)

Resposta

Portanto, a integral iterada resulta em:
13 (e - 1)

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