Vamos começar resumindo o enunciado do exercício. Temos que calcular uma integral iterada. O que isso significa? Bem, vamos integrar a função em três variáveis: , e . Nossas limitações de integração são que vai de 0 a , que vai de 0 a 3 e que vai de 0 a 1. Para resolver isso, precisamos entender como funcionam as integrais e como fazer a integração iterada.
Passo 2
Vamos começar a resolver a integral iterada. A primeira coisa que faremos é integrar em relação a . Escrevendo a integral, temos:
Primeiro, vamos focar na integral mais interna, que é a de . A função que estamos integrando em relação a é apenas , que não depende de . Portanto, ao integrar com relação a , a integral se torna:
Agora, substituindo as limitações:
Então, agora nossa integral se transforma em:
Passo 3
Agora vamos integrar em relação a . A nova integral que precisamos resolver é:
Como e não se misturam, podemos separar essas partes. Assim, começamos agora a integral em relação a :
Para fazer essa integral, vamos usar a substituição , o que significa que . Portanto, quando , , e quando , . Assim, a integral se transforma:
Agora, podemos integrar , que dá:
Voltando a , isso se torna:
Calculando isso entre 0 e 1, temos:
Quando :
Quando :
Então a integral em relação a resulta em . Agora, substituímos na integral que envolve :
Passo 4
Agora estamos prontos para integrar em relação a . Mantendo o para fora, nossa integral agora se torna: