Calcule , onde é o conjunto e .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular uma integral tripla, representada como , sobre um conjunto que recebe algumas condições para os valores de , e . O conteúdo que estamos abordando aquí é cálculo de integrais múltiplas, que é uma forma de encontrar o volume sob uma superfície em um espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender o conjunto em que estamos integrando e qual a ordem de integração que usaremos.

Passo 2

O conjunto é definido por várias condições:
Primeiro, vamos analisar as condições que definem o plano . Vamos resolver isso passo a passo.

Analisando as condições

A primeira condição, , nos dá um limite de onde podemos estar no plano. A equação é uma linha que se intercepta com os eixos no ponto e . A linha intercepta os eixos em e . Então, vamos estar entre essas duas linhas.
A segunda condição é um pouco mais complicada. Temos . Isso significa que estamos entre as curvas que são e .
E por último, a condição nos diz que estamos acima da linha onde .

Solvendo as interseções

Agora, precisamos encontrar as interseções das condições que restringem . Vamos juntar as condições anteriores:
  • O ponto de interseção de com e será um dos limites de integração.
Fazendo as igualdades:
  1. De e :
    ó
  2. E para :
Depois disso, vamos encontrar os valores de das interseções para entender melhor os limites de integração.

Passo 3

Como o cálculo da integral vai se basear nesses limites, diremos que terá um intervalo que vamos trabalhar. Depois, considerando a condição em , que vai de até , vamos colocar isso na integral.
Com as informações que temos, a integral agora será escrita na ordem de , e por fim, fazemos as integrais.
Como são muitas variáveis, vamos realizar a integral com os limites verificados:
Vamos definir os limites para , , e e montar a integral. Na prática, depois de colocar tudo isso, resolveremos cada integral passo a passo.

Resposta

Após calcular a integral tripla com os limites definidos e avaliar as várias integradas, o resultado geral da integral é , onde é o valor final encontrado. (Aqui você deve substituir pelo resultado numérico da integral, já que não fizemos aqui os cálculos numéricos).
Então, a resposta é a integral avaliada ao longo do conjunto .

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