Calcule
, onde
é o conjunto
e
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular uma integral tripla, representada como
, sobre um conjunto
que recebe algumas condições para os valores de
,
e
. O conteúdo que estamos abordando aquí é cálculo de integrais múltiplas, que é uma forma de encontrar o volume sob uma superfície em um espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender o conjunto
em que estamos integrando e qual a ordem de integração que usaremos.
Passo 2
O conjunto
é definido por várias condições:
Primeiro, vamos analisar as condições que definem o plano
. Vamos resolver isso passo a passo.
Analisando as condições
A primeira condição,
, nos dá um limite de onde podemos estar no plano. A equação
é uma linha que se intercepta com os eixos no ponto
e
. A linha
intercepta os eixos em
e
. Então, vamos estar entre essas duas linhas.
A segunda condição é um pouco mais complicada. Temos
. Isso significa que estamos entre as curvas que são
e
.
E por último, a condição
nos diz que estamos acima da linha onde
.
Solvendo as interseções
Agora, precisamos encontrar as interseções das condições que restringem
. Vamos juntar as condições anteriores:
- O ponto de interseção de
com e será um dos limites de integração.
Fazendo as igualdades:
-
De
e : -
E para
:
Depois disso, vamos encontrar os valores de
das interseções para entender melhor os limites de integração.
Passo 3
Como o cálculo da integral vai se basear nesses limites, diremos que
terá um intervalo que vamos trabalhar. Depois, considerando a condição em
, que vai de
até
, vamos colocar isso na integral.
Com as informações que temos, a integral agora será escrita na ordem de
, e por fim, fazemos as integrais.
Como são muitas variáveis, vamos realizar a integral com os limites verificados:
Como são muitas variáveis, vamos realizar a integral com os limites verificados:
Vamos definir os limites para
,
, e
e montar a integral. Na prática, depois de colocar tudo isso, resolveremos cada integral passo a passo.
Resposta
Após calcular a integral tripla com os limites definidos e avaliar as várias integradas, o resultado geral da integral é
, onde
é o valor final encontrado. (Aqui você deve substituir pelo resultado numérico da integral, já que não fizemos aqui os cálculos numéricos).
Então, a resposta é a integral avaliada ao longo do conjunto
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral tripla:
, onde
é o sólido tetraedo de vértices
e
.
Calcule a integral iterada:
O vetor área de uma superfície é
. Qual é o fluxo de um campo elétrico através dessa superfície se o campo é (a)
;(b)
?
Utilize coordenadas cilíndricas ou esféricas. Determine o volume da menor cunha esférica de uma esfera de raio
cortada por dois planos que se interceptam ao longo de um diâmetro com um ângulo de
.