Calcule a integral tripla: integral triplaE x z d V, onde E é o sólido tetraedo de vértices (0,0,0),(0,1,0),(1,1,0) e (0,1,1).

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral tripla da função f(x, z) = xz sobre o sólido tetraédrico definido pelos pontos (0, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0) e (0, 1, 1). A matéria aqui é cálculo de integrais múltiplas e a gente vai precisar de alguns conceitos, como o domínio de integração e as variáveis envolvidas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o tetraedro que foi mencionado. Os vértices que ele possui formam uma figura no espaço onde as coordenadas estão distribuídas da seguinte forma:
  • O ponto (0, 0, 0) é a origem.
  • O ponto (0, 1, 0) tem o eixo y igual a 1, enquanto x e z são 0.
  • O ponto (1, 1, 0) tem x igual a 1 e y igual a 1, mas ainda z é 0.
  • O ponto (0, 1, 1) tem y igual a 1 e z igual a 1, enquanto x é 0.
Esses pontos nos ajudam a definir os limites de integração para a nossa integral tripla. Para um tetraedro que se forma com esses pontos, podemos pensar que:
  • x varia de 0 a 1.
  • Para cada valor de x, y varia de x a 1.
  • E para cada combinação de x e y, z varia de 0 a 1 - y.
Isso nos dá os limites de integração. Assim, a integral é escrita como:
integral0^1 integralx^1 integral0^1-y xz , dz , dy , dx

Passo 3

Agora vamos calcular essa integral passo a passo. Começamos pela integral mais interna.
Primeiro, resolvemos a integral em relação a z:
integral0^1-y xz , dz
Para isso, usamos a fórmula da integral de az que é:
integral az , dz = a2 z^2
Assim, fazendo a substituição:
integral0^1-y xz , dz = x [ z^22 ]0^1-y = x [ (1-y)^22 - 0 ] = x(1-y)^22
Agora substituímos este resultado na nossa integral de duas variáveis:
integral0^1 integralx^1 x(1-y)^22 , dy , dx
Vamos resolver a integral em relação a y agora.

Passo 4

Juntando tudo, vamos calcular agora:
integralx^1 x(1-y)^22 , dy
Como pode ver, temos que calcular esta nova integral. A integral se torna:
x2 integralx^1 (1-y)^2 , dy
Para resolver isso, vamos aplicar novamente a fórmula de integral, que no caso diz que a integral de (1-y)^2 é:
integral (1-y)^2 , dy = (1-y)^33
Substituindo os limites:
[ (1-y)^33 ]x^1 = (1-1)^33 - (1-x)^33 = 0 - (1-x)^33 = -(1-x)^33
Então, substituímos na nossa integral com o fator x2:
x2 cdot -(1-x)^33 = -x(1-x)^36
Agora temos que integrar isso com relação a x.

Passo 5

Finalmente, integramos em relação a x:
integral0^1 -x(1-x)^36 , dx
Essa integral pode ser calculada por substituição ou pela regra do polinômio, mas a maneira mais direta pode ser expandindo o termo. Vamos expandir (1-x)^3 para facilitar:
(1-x)^3 = 1 - 3x + 3x^2 - x^3
Portanto, temos:
-16 integral0^1 x(1 - 3x + 3x^2 - x^3) , dx = -16 ( integral0^1 x , dx - 3 integral0^1 x^2 , dx + 3 integral0^1 x^3 , dx - integral0^1 x^4 , dx )
Calculando essas integrais simples:
  • integral0^1 x , dx = 12
  • integral0^1 x^2 , dx = 13
  • integral0^1 x^3 , dx = 14
  • integral0^1 x^4 , dx = 15
Substituindo de volta, ficamos com:
-16 ( 12 - 3 cdot 13 + 3 cdot 14 - 15 )
Resolvendo os termos:
= -16 ( 12 - 1 + 34 - 15 )
= -16 ( 1020 - 2020 + 1520 - 420 )
= -16 ( 120 )
= -1120

Resposta

Assim, a integral tripla integral triplaE x z , dV é igual a -1120.

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