Calcule a integral tripla:
, onde
é o sólido tetraedo de vértices
e
.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral tripla da função
sobre o sólido tetraédrico definido pelos pontos
,
,
e
. A matéria aqui é cálculo de integrais múltiplas e a gente vai precisar de alguns conceitos, como o domínio de integração e as variáveis envolvidas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o tetraedro que foi mencionado. Os vértices que ele possui formam uma figura no espaço onde as coordenadas estão distribuídas da seguinte forma:
- O ponto
é a origem. - O ponto
tem o eixo igual a 1, enquanto e são 0. - O ponto
tem igual a 1 e igual a 1, mas ainda é 0. - O ponto
tem igual a 1 e igual a 1, enquanto é 0.
Esses pontos nos ajudam a definir os limites de integração para a nossa integral tripla. Para um tetraedro que se forma com esses pontos, podemos pensar que:
-
varia de 0 a 1. - Para cada valor de
, varia de a 1. - E para cada combinação de
e , varia de 0 a .
Isso nos dá os limites de integração. Assim, a integral é escrita como:
Passo 3
Agora vamos calcular essa integral passo a passo. Começamos pela integral mais interna.
Primeiro, resolvemos a integral em relação a
:
Para isso, usamos a fórmula da integral de
que é:
Assim, fazendo a substituição:
Agora substituímos este resultado na nossa integral de duas variáveis:
Vamos resolver a integral em relação a
agora.
Passo 4
Juntando tudo, vamos calcular agora:
Como pode ver, temos que calcular esta nova integral. A integral se torna:
Para resolver isso, vamos aplicar novamente a fórmula de integral, que no caso diz que a integral de
é:
Substituindo os limites:
Então, substituímos na nossa integral com o fator
:
Agora temos que integrar isso com relação a
.
Passo 5
Finalmente, integramos em relação a
:
Essa integral pode ser calculada por substituição ou pela regra do polinômio, mas a maneira mais direta pode ser expandindo o termo. Vamos expandir
para facilitar:
Portanto, temos:
Calculando essas integrais simples:
Substituindo de volta, ficamos com:
Resolvendo os termos:
Resposta
Assim, a integral tripla
é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral iterada:
Calcule a integral tripla:
, onde
é limitado pelo cilindro parabólico
e pelos planos
e
.
Calcule
, onde
é o conjunto
e
.
O vetor área de uma superfície é
. Qual é o fluxo de um campo elétrico através dessa superfície se o campo é (a)
;(b)
?