Calcule a integral tripla: , onde é o sólido tetraedo de vértices e .

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral tripla da função sobre o sólido tetraédrico definido pelos pontos , , e . A matéria aqui é cálculo de integrais múltiplas e a gente vai precisar de alguns conceitos, como o domínio de integração e as variáveis envolvidas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o tetraedro que foi mencionado. Os vértices que ele possui formam uma figura no espaço onde as coordenadas estão distribuídas da seguinte forma:
  • O ponto é a origem.
  • O ponto tem o eixo igual a 1, enquanto e são 0.
  • O ponto tem igual a 1 e igual a 1, mas ainda é 0.
  • O ponto tem igual a 1 e igual a 1, enquanto é 0.
Esses pontos nos ajudam a definir os limites de integração para a nossa integral tripla. Para um tetraedro que se forma com esses pontos, podemos pensar que:
  • varia de 0 a 1.
  • Para cada valor de , varia de a 1.
  • E para cada combinação de e , varia de 0 a .
Isso nos dá os limites de integração. Assim, a integral é escrita como:

Passo 3

Agora vamos calcular essa integral passo a passo. Começamos pela integral mais interna.
Primeiro, resolvemos a integral em relação a :
Para isso, usamos a fórmula da integral de que é:
Assim, fazendo a substituição:
Agora substituímos este resultado na nossa integral de duas variáveis:
Vamos resolver a integral em relação a agora.

Passo 4

Juntando tudo, vamos calcular agora:
Como pode ver, temos que calcular esta nova integral. A integral se torna:
Para resolver isso, vamos aplicar novamente a fórmula de integral, que no caso diz que a integral de é:
Substituindo os limites:
Então, substituímos na nossa integral com o fator :
Agora temos que integrar isso com relação a .

Passo 5

Finalmente, integramos em relação a :
Essa integral pode ser calculada por substituição ou pela regra do polinômio, mas a maneira mais direta pode ser expandindo o termo. Vamos expandir para facilitar:
Portanto, temos:
Calculando essas integrais simples:
Substituindo de volta, ficamos com:
Resolvendo os termos:

Resposta

Assim, a integral tripla é igual a .

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