Calcule a integral tripla: integral triplaE(x+2 y) d V, onde E é limitado pelo cilindro parabólico y=x^2 e pelos planos x=z, x=y e z=0.

Passo 1

Vamos lá! O que temos aqui é uma integral tripla. Vamos calcular a integral integral triplaE(x+2 y) d V, onde E é a região que está delimitada pelo cilindro parabólico y=x^2 e pelos planos x=z, x=y e z=0. A matéria envolvida aqui é cálculo de integrais múltiplas, e para resolver isso, precisamos entender a região de integração, depois determinaremos os limites da integral e, por fim, resolveremos a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região E. O cilindro parabólico y=x^2 nos dá uma curva no plano xy. Os planos x=z, x=y e z=0 nos ajudam a delimitar a altura e a largura da região em 3D. Vamos desenhar um esboço mental:
  • O plano z=0 define o “chão”.
  • A interseção de x=y com o cilindro y=x^2 acontece nos pontos onde y=x^2 e x=y. Isso significa que x=x^2, então temos x^2 - x = 0 x(x-1) = 0, ou seja, x=0 e x=1. Então, para x in [0, 1], a curva se transforma.
  • O plano x=z nos dá a altura onde o valor de z deve ser igual ao valor de x.
Assim, a região E é limitada por y=x^2, x=z, x=y, e z=0 numa projeção no plano xy para x de 0 a 1.

Passo 3

Agora, sabendo disso, vamos determinar a integral.
Os limites para z vão de 0 a x (já que z=0 no chão e vai até z=x). Para o plano y=x^2, os limites de y para um dado x serão de x^2 até x (já que estamos considerando o plan x=y). E, finalmente, para x, ele varia de 0 a 1.
Portanto, a integral tripla pode ser escrita como:
integral0^1 integralx^2^x integral0^x (x + 2y) , dz , dy , dx

Passo 4

Agora vamos resolver essa integral. Vamos fazer a integração em relação a z primeiro:
integral0^x (x + 2y) , dz = (x + 2y)z g|0^x = (x + 2y)x - (x + 2y)0 = (x + 2y)x = x^2 + 2xy
Agora nossa integral se reduz para:
integral0^1 integralx^2^x (x^2 + 2xy) , dy , dx

Passo 5

Seguimos integrando em relação a y:
integralx^2^x (x^2 + 2xy) , dy = ( x^2y + xy^2 ) g|x^2^x = ( x^3 + x^2 cdot x^2 ) - ( x^2 cdot x^2 + x(x^2)^2 )
Calculando os limites:
= (x^3 + x^4) - (x^4 + x^5) = x^3 + x^4 - x^4 - x^5 = x^3 - x^5
Por fim, a integral ficou assim:
integral0^1 (x^3 - x^5) , dx

Passo 6

Agora vamos resolver essa última integral:
integral0^1 x^3 , dx = x^44 g|0^1 = 14
integral0^1 x^5 , dx = x^66 g|0^1 = 16
Portanto, agora calculamos:
14 - 16
Para isso, precisamos de um denominador comum, que é 12:
312 - 212 = 112

Resposta

A integral tripla integral triplaE(x+2y) dV é igual a 112.

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