Calcule a integral tripla: , onde é limitado pelo cilindro parabólico e pelos planos e .
Passo 1
Vamos lá! O que temos aqui é uma integral tripla. Vamos calcular a integral , onde é a região que está delimitada pelo cilindro parabólico e pelos planos , e . A matéria envolvida aqui é cálculo de integrais múltiplas, e para resolver isso, precisamos entender a região de integração, depois determinaremos os limites da integral e, por fim, resolveremos a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região . O cilindro parabólico nos dá uma curva no plano . Os planos , e nos ajudam a delimitar a altura e a largura da região em 3D. Vamos desenhar um esboço mental:
O plano define o “chão”.
A interseção de com o cilindro acontece nos pontos onde e . Isso significa que , então temos , ou seja, e . Então, para , a curva se transforma.
O plano nos dá a altura onde o valor de deve ser igual ao valor de .
Assim, a região é limitada por , , , e numa projeção no plano para de 0 a 1.
Passo 3
Agora, sabendo disso, vamos determinar a integral.
Os limites para vão de 0 a (já que no chão e vai até ). Para o plano , os limites de para um dado serão de até (já que estamos considerando o plan ). E, finalmente, para , ele varia de 0 a 1.
Portanto, a integral tripla pode ser escrita como:
Passo 4
Agora vamos resolver essa integral. Vamos fazer a integração em relação a primeiro:
Agora nossa integral se reduz para:
Passo 5
Seguimos integrando em relação a :
Calculando os limites:
Por fim, a integral ficou assim:
Passo 6
Agora vamos resolver essa última integral:
Portanto, agora calculamos:
Para isso, precisamos de um denominador comum, que é 12: