O espectro de hidrogênio tem uma linha vermelha em 656 nm e uma linha violeta em 434 nm . Qual é a separação angular entre duas linhas espectrais obtidas com uma rede de difração de 4.500 linhas por centímetro?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre o espectro do hidrogênio, que tem duas linhas específicas: uma vermelha de 656 nm e uma violeta de 434 nm. Vamos precisar usar conceitos de redes de difração para encontrar a separação angular entre essas duas linhas espectrais. Para resolver isso, vamos precisar saber como uma rede de difração funciona e usar a fórmula que relaciona o ângulo de difração com o comprimento de onda e a densidade de linhas da rede.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é uma rede de difração. Uma rede de difração é um dispositivo óptico que dispersa a luz em suas cores componentes devido à presença de muitas linhas finas (ou fendas) por unidade de comprimento. A separação angular entre as linhas espectrais depende do comprimento de onda da luz e da densidade de linhas da rede.

Passo 3

Vamos identificar os dados que temos:
  • Comprimento de onda da linha vermelha, a = 1d
  • Comprimento de onda da linha violeta, d = 4500 , linhas/cm = 4500 times 100 , linhas/m = 450000 , linhas/m
  • Densidade da rede, a = 1450000 , m approx 2.222 times 10^-6 , m
Primeiro, precisamos converter a densidade da rede para o espaçamento entre as linhas, que é na fórmula da rede de difração. A densidade de linhas é 4500 linhas por centímetro, então o espaçamento entre as linhas é:
Convertendo 4500 linhas/cm para linhas/m:
Então:

Passo 4

A fórmula da rede de difração relaciona o ângulo de difração d sin(theta) = m lambda , o comprimento de onda e o número de ordem :
Assumiremos a primeira ordem de difração, ou seja, .
Vamos calcular os ângulos para cada linha espectral.

Passo 5

Primeiro, para a linha vermelha ( sin(theta1) = m lambda1a = 1 times 656 times 10^-92.222 times 10^-6 approx 0.2956 ):
theta1 = arcsin(0.2956) approx 17.24^circ
Então:

Passo 6

Agora, para a linha violeta ( sin(theta2) = m lambda2a = 1 times 434 times 10^-92.222 times 10^-6 approx 0.1956 ):
theta2 = arcsin(0.1956) approx 11.30^circ
Então:

Resposta

A separação angular entre as duas linhas espectrais é aproximadamente .

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