Se
é contínua em
e
é convergente então
é convergente. A afirmação é verdadeira ou falsa? Justifique.
Passo 1
Então, o exercício está me perguntando se, sendo uma função
contínua no intervalo
e sabendo que a integral de
até
de
converge, isso garante que a integral de
até
de
também converge. Vamos usar conceitos de cálculo integral, como continuidade e convergência de integrais impróprias, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a integral de
a
de
. Como a função
é contínua no intervalo fechado
, sabemos, pela propriedade das funções contínuas em intervalos fechados, que
é limitada e, portanto, integrável nesse intervalo. Isso significa que:
é uma integral definida que sempre vai dar um número finito.
Passo 3
Agora, sabemos pelo enunciado que a integral de
até
de
é convergente, ou seja:
também resulta em um número finito.
Passo 4
Para encontrar a integral de
até
de
, podemos dividir esse intervalo em duas partes:
Já estabelecemos que ambas as integrais no lado direito são finitas.
Passo 5
Somando essas duas integrais finitas, temos que a integral total também será finita. Ou seja:
Portanto, a integral de
até
de
também converge.
Resposta
A afirmação é verdadeira. Se
é contínua em
e a integral de
até
de
converge, então a integral de
até
de
também converge.
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17.
17.
Seja
aberto, uma função de classe
em
. Definimos o laplaciano de
à função dada por
à função
Faça
e
, calcule o laplaciano de
em termos de
e
.