Se é contínua em e é convergente então é convergente. A afirmação é verdadeira ou falsa? Justifique.

Passo 1

Então, o exercício está me perguntando se, sendo uma função contínua no intervalo e sabendo que a integral de até de converge, isso garante que a integral de até de também converge. Vamos usar conceitos de cálculo integral, como continuidade e convergência de integrais impróprias, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a integral de a de . Como a função é contínua no intervalo fechado , sabemos, pela propriedade das funções contínuas em intervalos fechados, que é limitada e, portanto, integrável nesse intervalo. Isso significa que:
é uma integral definida que sempre vai dar um número finito.

Passo 3

Agora, sabemos pelo enunciado que a integral de até de é convergente, ou seja:
também resulta em um número finito.

Passo 4

Para encontrar a integral de até de , podemos dividir esse intervalo em duas partes:
Já estabelecemos que ambas as integrais no lado direito são finitas.

Passo 5

Somando essas duas integrais finitas, temos que a integral total também será finita. Ou seja:
úúú
Portanto, a integral de até de também converge.

Resposta

A afirmação é verdadeira. Se é contínua em e a integral de até de converge, então a integral de até de também converge.

Exercícios relacionados

Calcule a integral iterada
Use coordenadas cilíndricas ou esféricas para calcular a integral
17-18 Encontre uma equação polar para a curva representada pela equação cartesiana dada.
17.
Seja aberto, uma função de classe em . Definimos o laplaciano de
à função dada por
Faça e , calcule o laplaciano de em termos de e .