Se f é contínua em [0,+infty[ e integral1^infty f(x) d x é convergente então integral0^infty f(x) d x é convergente. A afirmação é verdadeira ou falsa? Justifique.

Passo 1

Então, o exercício está me perguntando se, sendo uma função contínua no intervalo e sabendo que a integral de até de converge, isso garante que a integral de até de também converge. Vamos usar conceitos de cálculo integral, como continuidade e convergência de integrais impróprias, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a integral de integral0^1 f(x) , dx a de . Como a função é contínua no intervalo fechado , sabemos, pela propriedade das funções contínuas em intervalos fechados, que é limitada e, portanto, integrável nesse intervalo. Isso significa que:
é uma integral definida que sempre vai dar um número finito.

Passo 3

Agora, sabemos pelo enunciado que a integral de integral1^infty f(x) , dx até de é convergente, ou seja:
também resulta em um número finito.

Passo 4

Para encontrar a integral de integral0^infty f(x) , dx = integral0^1 f(x) , dx + integral1^infty f(x) , dx até de , podemos dividir esse intervalo em duas partes:
Já estabelecemos que ambas as integrais no lado direito são finitas.

Passo 5

Somando essas duas integrais finitas, temos que a integral total também será finita. Ou seja:
integral0^infty f(x) , dx = número finito + número finito = número finito úúú
Portanto, a integral de até de também converge.

Resposta

A afirmação é verdadeira. Se é contínua em e a integral de até de converge, então a integral de até de também converge.

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