Calcule a integral iterada. integral0^2 integral0^raiz4-x^2 integral-5+x^2+y^2^3-x^2-y^2 x d z d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral iterada passo a passo! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma integral tripla:
integral0^2 integral0^raiz4-x^2 integral-5+x^2+y^2^3-x^2-y^2 x , dz , dy , dx
Matéria envolvida: Cálculo Integral Multivariável, especificamente integrais múltiplas (dupla e tripla).
O que vamos precisar: Saber integrar funções em várias variáveis, entender os limites de integração e aplicar as regras de integração passo a passo.

Passo 2

Vamos começar integrando em relação a integral-5+x^2+y^2^3-x^2-y^2 x , dz. A integral mais interna é:
x cdot [ z ]-5+x^2+y^2^3-x^2-y^2 = x cdot ( (3 - x^2 - y^2) - (-5 + x^2 + y^2) )
Aqui, 3 - x^2 - y^2 + 5 - x^2 - y^2 = 8 - 2x^2 - 2y^2 é tratado como uma constante em relação a x cdot (8 - 2x^2 - 2y^2), então a integral de em relação a é simplesmente vezes a diferença dos limites superiores e inferiores.
Cálculo:
Simplificando dentro dos parênteses:
Então, a integral se torna:

Passo 3

Agora, substituímos o resultado na próxima integral, que é em relação a integral0^raiz4 - x^2 x (8 - 2x^2 - 2y^2) , dy:
integral0^raiz4 - x^2 (8x - 2x^3 - 2x y^2) , dy
Vamos distribuir o 8x cdot y g|0^raiz4 - x^2 = 8x cdot raiz4 - x^2:
-2x^3 cdot y g|0^raiz4 - x^2 = -2x^3 cdot raiz4 - x^2
Agora, integramos termo por termo em relação a -2x cdot y^33 g|0^raiz4 - x^2 = -2x3 cdot (4 - x^2)^3/2.
Integral de 8x raiz4 - x^2 - 2x^3 raiz4 - x^2 - 2x3 (4 - x^2)^3/2 em relação a :
Integral de em relação a :
Integral de em relação a :
Então, combinando todos os termos, temos:

Passo 4

Agora, precisamos integrar essa expressão em relação a integral0^2 (8x raiz4 - x^2 - 2x^3 raiz4 - x^2 - 2x3 (4 - x^2)^3/2) , dx:
2x raiz4 - x^2 (4 - x^2 - 13(4 - x^2))
Vamos simplificar a expressão antes de integrar:
Podemos fatorar 4 - x^2 - 4 - x^23 = 12 - 3x^2 - 4 + x^23 = 8 - 2x^23:
integral0^2 2x (8 - 2x^2)3 raiz4 - x^2 , dx
Simplificando dentro dos parênteses:
23 integral0^2 x (8 - 2x^2) raiz4 - x^2 , dx = 43 integral0^2 x (4 - x^2) raiz4 - x^2 , dx
Então, a integral fica:
43 cdot (-12) integral4^0 (u) raizu , du = -23 integral4^0 u^3/2 , du = 23 integral0^4 u^3/2 , du
Simplificando mais:
Substituindo , então , ou seja, . Quando , ; e quando , .
A integral se torna:

Passo 5

Agora, vamos integrar integral u^3/2 , du = 25 u^5/2 + C em relação a 25 cdot 4^5/2 - 25 cdot 0^5/2 = 25 cdot (32) = 645:
23 cdot 645 = 12815
Aplicando os limites de 0 a 4:
Multiplicando pelo fator que estava na frente:

Resposta

A integral iterada vale .

Exercícios relacionados