Calcule a integral iterada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral iterada passo a passo! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma integral tripla:
Matéria envolvida: Cálculo Integral Multivariável, especificamente integrais múltiplas (dupla e tripla).
O que vamos precisar: Saber integrar funções em várias variáveis, entender os limites de integração e aplicar as regras de integração passo a passo.

Passo 2

Vamos começar integrando em relação a . A integral mais interna é:
Aqui, é tratado como uma constante em relação a , então a integral de em relação a é simplesmente vezes a diferença dos limites superiores e inferiores.
Cálculo:
Simplificando dentro dos parênteses:
Então, a integral se torna:

Passo 3

Agora, substituímos o resultado na próxima integral, que é em relação a :
Vamos distribuir o :
Agora, integramos termo por termo em relação a .
Integral de em relação a :
Integral de em relação a :
Integral de em relação a :
Então, combinando todos os termos, temos:

Passo 4

Agora, precisamos integrar essa expressão em relação a :
Vamos simplificar a expressão antes de integrar:
Podemos fatorar :
Simplificando dentro dos parênteses:
Então, a integral fica:
Simplificando mais:
Substituindo , então , ou seja, . Quando , ; e quando , .
A integral se torna:

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a :
Aplicando os limites de 0 a 4:
Multiplicando pelo fator que estava na frente:

Resposta

A integral iterada vale .

Exercícios relacionados

Calcule a integral a seguir pela regra dos Trapézios e pela de Simpson, usando quatro divisões de .
b-
Mostre que cada uma das equações seguintes define implicitamente pelo menos uma função diferenciável . Expresse e em termos de e .
(施)
Calcule a integral iterada.
Calcule a integral iterada.