Mostre que cada uma das equações seguintes define implicitamente pelo menos uma função diferenciável
. Expresse
e
em termos de
e
.
(施)
(施)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a equação
define implicitamente uma função diferenciável
. Além disso, precisamos encontrar as derivadas parciais
e
em termos de
e
. Vamos usar o Teorema da Função Implícita e a técnica de diferenciação implícita para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que estamos lidando. Seja
. Queremos mostrar que, perto de um ponto onde
, podemos resolver para
como uma função de
e
.
Passo 3
Para aplicar o Teorema da Função Implícita, precisamos verificar se a derivada parcial de
em relação a
não é zero naquele ponto. Calculando:
Precisamos que
para garantir que podemos resolver para
.
Passo 4
Assumindo que
, o Teorema da Função Implícita garante que existe uma função diferenciável
que satisfaz a equação
.
Passo 5
Agora, para encontrar
e
, vamos diferenciar a equação
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 6
Diferenciando com respeito a
:
Onde
e
.
Passo 7
Isolando
:
Passo 8
Diferenciando com respeito a
:
Onde
e
.
Passo 9
Isolando
:
Resposta
As derivadas parciais são:
e
Exercícios relacionados
Determine:
(a) uma reta que seja tangente à curva e paralela à reta
;
(a) uma reta que seja tangente à curva
Calcule
onde:
(a) e
o versor de
;
(a)
Calcule a integral a seguir pela regra dos Trapézios e pela de Simpson, usando quatro divisões de
.
b-
b-
Calcule a integral iterada.