Mostre que cada uma das equações seguintes define implicitamente pelo menos uma função diferenciável . Expresse e em termos de e .
(施)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a equação define implicitamente uma função diferenciável . Além disso, precisamos encontrar as derivadas parciais e em termos de e . Vamos usar o Teorema da Função Implícita e a técnica de diferenciação implícita para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que estamos lidando. Seja . Queremos mostrar que, perto de um ponto onde , podemos resolver para como uma função de e .

Passo 3

Para aplicar o Teorema da Função Implícita, precisamos verificar se a derivada parcial de em relação a não é zero naquele ponto. Calculando:
Precisamos que para garantir que podemos resolver para .

Passo 4

Assumindo que , o Teorema da Função Implícita garante que existe uma função diferenciável que satisfaz a equação .

Passo 5

Agora, para encontrar e , vamos diferenciar a equação em relação a e , respectivamente.

Passo 6

Diferenciando com respeito a :
Onde e .

Passo 7

Isolando :

Passo 8

Diferenciando com respeito a :
Onde e .

Passo 9

Isolando :

Resposta

As derivadas parciais são:
e

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Determine:
(a) uma reta que seja tangente à curva e paralela à reta ;
Calcule onde:
(a) e o versor de ;
Calcule a integral a seguir pela regra dos Trapézios e pela de Simpson, usando quatro divisões de .
b-
Calcule a integral iterada.