Mostre que cada uma das equações seguintes define implicitamente pelo menos uma função diferenciável z=z(x, y). Expresse partial zpartial x e partial zpartial y em termos de x e y.
(施) z+2 cos (x+y+z) =0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a equação define implicitamente uma função diferenciável . Além disso, precisamos encontrar as derivadas parciais e em termos de e . Vamos usar o Teorema da Função Implícita e a técnica de diferenciação implícita para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que estamos lidando. Seja . Queremos mostrar que, perto de um ponto onde , podemos resolver para como uma função de e .

Passo 3

Para aplicar o Teorema da Função Implícita, precisamos verificar se a derivada parcial de partial Fpartial z = 1 - 2 sin(x + y + z) em relação a não é zero naquele ponto. Calculando:
Precisamos que para garantir que podemos resolver para .

Passo 4

Assumindo que , o Teorema da Função Implícita garante que existe uma função diferenciável que satisfaz a equação .

Passo 5

Agora, para encontrar e , vamos diferenciar a equação em relação a e , respectivamente.

Passo 6

Diferenciando com respeito a partial Fpartial x + partial Fpartial z cdot partial zpartial x = 0 :
Onde e .

Passo 7

Isolando partial zpartial x = -partial Fpartial xpartial Fpartial z = --2 sin(x + y + z)1 - 2 sin(x + y + z) = 2 sin(x + y + z)1 - 2 sin(x + y + z) :

Passo 8

Diferenciando com respeito a partial Fpartial y + partial Fpartial z cdot partial zpartial y = 0 :
Onde e .

Passo 9

Isolando partial zpartial y = -partial Fpartial ypartial Fpartial z = --2 sin(x + y + z)1 - 2 sin(x + y + z) = 2 sin(x + y + z)1 - 2 sin(x + y + z) :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = 2 sin(x + y + z)1 - 2 sin(x + y + z)
e
partial zpartial y = 2 sin(x + y + z)1 - 2 sin(x + y + z)

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